Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Hydrostatische Kraft

Druck in der Tiefe: p = ρgh
Kraft auf eine senkrechte Wand: F = ρg·h_c·A
Druckmittelpunkt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechteck: I_c = bH³/12

Kontinuität und Bernoulli

Kontinuität: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Volumenstrom: Q = A·v
Kreisfläche: A = πd²/4

Rohrreibung und Verlusthöhe

Reynolds-Zahl: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Strömungsform: laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
Mittlere Geschwindigkeit: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Örtliche Verluste: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typische K-Werte: Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
Druckverlust: Δp = ρ·g·h_f
Zwei offene Behälter: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Freier Auslauf: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pumpen und Pumpenleistung

Hydraulische Leistung: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Wellenleistung: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrische Leistung: P_el = P_shaft/η_motor
Förderhöhe: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Anlagenverluste: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Gerinneströmung (Manning)

Manning-Gleichung: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Volumenstrom: Q = A·V
Hydraulischer Radius: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rechteck: A = b·y, P = b + 2y
Trapez (Böschungsneigung z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Kreisrohr, voll oder halb gefüllt: R = D/4
Erforderliches Gefälle: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Übungsaufgaben

1.Hydrostatische KraftMittel

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische KraftSchwer

Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Meerwasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe y_cp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Kontinuität und BernoulliMittel

Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 100 mm auf 75 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 180 kPa und die Geschwindigkeit 2,75 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ im engen Abschnitt.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 180 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Kontinuität und BernoulliSchwer

Wasser fließt aufwärts durch ein Rohr, das sich von 75 mm auf 25 mm verengt und dabei um 8 m ansteigt. In Querschnitt 1 beträgt der Druck 270 kPa und die Geschwindigkeit 1 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p₂ in Querschnitt 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 270 kPav₁ = 1 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel

Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 1,9 m/s durch ein 800 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe h_f.

V = 1,9 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer

Ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 250 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 3 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 2). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 150 L/s beträgt?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.Pumpen und PumpenleistungMittel

Eine Pumpe fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 32 m. Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 82 %, und der antreibende Elektromotor hat einen Wirkungsgrad von 90 %. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die elektrische Leistung P_el, die der Motor aufnimmt, in kW.

Q = 20 L/sH = 32 mη_pump = 82%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pumpen und PumpenleistungSchwer

Eine Pumpe fördert 20 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 12 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 100 m lang, hat einen Innendurchmesser von 100 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 5 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 80 %. Bestimme die Wellenleistung P_shaft in kW.

Q = 20 L/sΔz = 12 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 5η = 80%

P_shaft = kW

9.Gerinneströmung (Manning)Mittel

Ein Trapezgerinne (sauberes Erdreich) hat eine Sohlbreite von 5 m und eine Böschungsneigung von 1:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 1,5 m tief. Manning n = 0,022, und das Sohlgefälle ist S = 0,0005. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.

b = 5 my = 1,5 mz = 1n = 0,022S = 0,0005

Q = m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)Schwer

Ein Trapezgerinne (rauer Beton) mit einer Sohlbreite von 3 m und einer Böschungsneigung von 3:1 (horizontal:vertikal) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 1,8 m 50 m³/s abführen. Manning n = 0,014. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).

Q = 50 m³/sb = 3 my = 1,8 mz = 3n = 0,014

S = m/m

3Lösungen

1.Hydrostatische Kraft

Antwort: F = 104,2 kN

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·2,5 = 104,2 kN

Antwort

F = 104,2 kN

2.Hydrostatische Kraft

Antwort: y_cp = 3,8 m

Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·y_c·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.

Schwerpunkttiefe und Fläche

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Resultierende Kraft

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·1,5 = 56,56 kN

Druckmittelpunkt

Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.

I_c = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,2813/(3,75·1,5) = 3,8 m

Antwort

y_cp = 3,8 m

3.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 171,8 kPa

Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(100/75)² = 4,889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 4,889²)/1000 = −8,169 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 180 + (−8,169) = 171,8 kPa

Antwort

p₂ = 171,8 kPa

4.Kontinuität und Bernoulli

Antwort: p₂ = 151,5 kPa

Kontinuität und Bernoulli

Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−40) − 78,48 = 151,5 kPa

Antwort

p₂ = 151,5 kPa

5.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: h_f = 10,6 m

Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste h_m = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = h_f + h_m, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.

Geschwindigkeitshöhe

V²/(2g) = 1,9²/(2·9,81) = 0,184 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,25)·1,9²/(2·9,81) = 10,6 m

Antwort

h_f = 10,6 m

6.Rohrreibung und Verlusthöhe

Antwort: H = 5,521 m

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Verlustbeiwerte

f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Energiegleichung

Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.

H = (1 + 7,2 + 3,4)·0,4759 = 5,521 m

Antwort

H = 5,521 m

7.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_el = 8,507 kW

Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: P_shaft = P_h/η_pump, und der Motor nimmt P_el = P_shaft/η_motor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.

Hydraulische Leistung

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·32 = 6,278 kW

Wellenleistung

P_shaft = 6,278/0,82 = 7,657 kW

Elektrische Leistung

P_el = 7,657/0,9 = 8,507 kW

Antwort

P_el = 8,507 kW

8.Pumpen und Pumpenleistung

Antwort: P_shaft = 4,969 kW

Geschwindigkeit

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Verlusthöhen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0,3305 = 8,263 m

Förderhöhe

H = Δz + h_L = 12 + 8,263 = 20,26 m

Wellenleistung

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·20,26/0,8 = 4,969 kW

Antwort

P_shaft = 4,969 kW

9.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: Q = 10,27 m³/s

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Geometrie

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1,5)·1,5 = 9,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 9,243 m

R = A/P = 1,055 m

Geschwindigkeit

V = (1/0,022)·1,055^2/3·0,0005^1/2 = 1,053 m/s

Volumenstrom

Q = A·V = 9,75·1,053 = 10,27 m³/s

Antwort

Q = 10,27 m³/s

10.Gerinneströmung (Manning)

Antwort: S = 0,002005 m/m

Geometrie

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1,8)·1,8 = 15,12 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,8·√(1 + 3²) = 14,38 m

R = A/P = 1,051 m

Manning nach S auflösen

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·50/(15,12·1,034) = 0,04478

S = 0,04478² = 0,002005

Antwort

S = 0,002005

Das ist ein Gefälle von 2,005 m pro Kilometer.

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