Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Gerinneströmung (Manning)
- Manning-Gleichung
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Volumenstrom
- Q = A·V
- Hydraulischer Radius
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechteck
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (Böschungsneigung z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Kreisrohr, voll oder halb gefüllt
- R = D/4
- Erforderliches Gefälle
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 2 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 200 mm Eintrittsdurchmesser und 100 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 42 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 42 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Eine Springbrunnendüse zeigt senkrecht nach oben. Unmittelbar unter der Düse hat das Zulaufrohr 75 mm Durchmesser und einen Überdruck von 120 kPa. Der Austrittsdurchmesser der Düse beträgt 30 mm, der Höhenunterschied über die Düse ist vernachlässigbar. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten und Luftwiderstand die Höhe H, die der Strahl über die Düse steigt. Verwende g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 120 kPa (Überdruck)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit 20 L/s durch ein 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,028 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
Q = 20 L/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Ein 200 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 150 mm (Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,022) führt von einem offenen Behälter weg und tritt als freier Strahl ins Freie aus. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3) und ein Ventil (K = 10). Verwende g = 9,81 m/s². Wie hoch H muss der Wasserspiegel im Behälter über dem Rohrauslauf liegen, damit der Durchfluss 60 L/s beträgt?
Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
In einem Versuch fördert eine Pumpe 10 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 14 m, während ihre Welle 1,7 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.
Q = 10 L/sH = 14 mPshaft = 1,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 30 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 11 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 200 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,015; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 300 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Q = 30 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m
9.Gerinneströmung (Manning)Mittel
Ein Regenwasserkanal aus Beton mit einem Innendurchmesser von 1200 mm läuft gerade voll (als Freispiegelleitung, nicht unter Druck). Manning n = 0,013, und das Gefälle ist S = 0,001. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
D = 1200 mmn = 0,013S = 0,001
Q = m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)Schwer
Ein Betonkanal mit einem Innendurchmesser von 300 mm (Manning n = 0,013) muss bei gerade voller Füllung eine Selbstreinigungsgeschwindigkeit von 1 m/s erreichen. Bestimme das Mindestgefälle S (in m/m).
D = 300 mmn = 0,013V = 1 m/s
S = m/m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 117,7 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN
Antwort
F = 117,7 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: ycp = 4,083 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·4 = 157 kN
Druckmittelpunkt
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 1,333/(4·4) = 4,083 m
Antwort
ycp = 4,083 m
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 74,34 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Kontinuität
v1 = v2·(100/200)² = 0,25·v2
Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle
Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·42000/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,466 m/s
v1 = 2,366 m/s
Volumenstrom
Q = A2·v2 = 0,007854·9,466 = 0,07434 m³/s = 74,34 L/s
Antwort
Q = 74,34 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: H = 12,55 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Austrittsgeschwindigkeit
β = 30/75 = 0,4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0,9744)) = 15,69 m/s
Höhe des Strahls
Bernoulli entlang des Strahls: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null und der Druck wieder der Atmosphärendruck.
H = v2²/(2g) = 15,69²/(2·9,81) = 12,55 m
Antwort
H = 12,55 m
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 46,27 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Mittlere Geschwindigkeit
A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,1)·2,546²/(2·9,81) = 46,27 m
Antwort
hf = 46,27 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: H = 24,7 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s
V²/(2g) = 0,5876 m
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,022·200/0,15 = 29,33
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7
Energiegleichung
Der austretende Strahl hat noch seine Geschwindigkeitshöhe; sie ist kein Verlust, muss aber aufgebracht werden.
H = (1 + 29,33 + 11,7)·0,5876 = 24,7 m
Antwort
H = 24,7 m
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: η = 80,79 %
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·14 = 1,373 kW
Wirkungsgrad
η = Ph/Pshaft = 1,373/1,7 = 80,79%
Antwort
η = 80,79%
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: H = 45,69 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,1469 = 4,113 m
Druckhöhe
p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m
Förderhöhe
Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 30,58 + 4,113 = 45,69 m
Antwort
H = 45,69 m
9.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: Q = 1,233 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Geometrie
A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m
Geschwindigkeit
V = (1/0,013)·0,32/3·0,0011/2 = 1,09 m/s
Volumenstrom
Q = A·V = 1,131·1,09 = 1,233 m³/s
Antwort
Q = 1,233 m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: S = 0,005343 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Hydraulischer Radius
R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m
Manning nach S auflösen
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1/0,1778)² = 0,005343
Antwort
S = 0,005343
Das ist ein Gefälle von 5,343 m pro Kilometer.
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