Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Gerinneströmung (Manning)
- Manning-Gleichung
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Volumenstrom
- Q = A·V
- Hydraulischer Radius
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechteck
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (Böschungsneigung z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Kreisrohr, voll oder halb gefüllt
- R = D/4
- Erforderliches Gefälle
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 3 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1,5 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 1 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
d = 1 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser strömt durch ein waagerechtes Venturi-Rohr mit 300 mm Eintrittsdurchmesser und 150 mm Engstellendurchmesser. Der Druck am Eintritt ist 23 kPa höher als in der Engstelle. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q.
d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 23 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Ein waagerechtes Venturi-Rohr (Eintritt 300 mm, Engstelle 150 mm) führt Wasser. Ein Quecksilber-U-Rohr-Manometer zwischen Eintritt und Engstelle zeigt einen Höhenunterschied von 360 mm. Die Durchflusszahl beträgt 0,99. Bestimme den Volumenstrom Q. Verwende ρ = 1000 kg/m³ für Wasser, 13 600 kg/m³ für Quecksilber und g = 9,81 m/s².
d1 = 300 mmd2 = 150 mmΔh = 360 mmCd = 0,99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 2,1 m/s durch ein 500 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 300 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
V = 2,1 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 150 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 verbunden. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 2 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 2) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Welcher Wasserspiegelunterschied Δz zwischen den Behältern ergibt einen Durchfluss von 25 L/s?
Q = 25 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
Eine Pumpe mit einem Wirkungsgrad von 78 % fördert 100 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 38 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die benötigte Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 100 L/sH = 38 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 27 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 300 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 6 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der obere Tank ist geschlossen, und die Luft über dem Wasser steht unter einem Überdruck von 350 kPa. Bestimme die Förderhöhe H, die die Pumpe aufbringen muss.
Q = 50 L/sΔz = 27 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 6ptank = 350 kPa
H = m
9.Gerinneströmung (Manning)Mittel
Ein Trapezgerinne (Erdreich mit Grasbewuchs) hat eine Sohlbreite von 5 m und eine Böschungsneigung von 1:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 0,8 m tief. Manning n = 0,03, und das Sohlgefälle ist S = 0,002. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
b = 5 my = 0,8 mz = 1n = 0,03S = 0,002
Q = m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)Schwer
Ein Betonkanal mit einem Innendurchmesser von 600 mm (Manning n = 0,013) muss bei gerade voller Füllung eine Selbstreinigungsgeschwindigkeit von 0,9 m/s erreichen. Bestimme das Mindestgefälle S (in m/m).
D = 600 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 202,3 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·7,5 = 202,3 kN
Antwort
F = 202,3 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: ycp = 2,481 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·2,5 = 55,18 kN
Druckmittelpunkt
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,25 + 1,302/(2,25·2,5) = 2,481 m
Antwort
ycp = 2,481 m
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 123,8 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Kontinuität
v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2
Bernoulli zwischen Eintritt und Engstelle
Das Rohr liegt waagerecht, es ändern sich also nur Druck und Geschwindigkeit.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·23000/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,005 m/s
v1 = 1,751 m/s
Volumenstrom
Q = A2·v2 = 0,01767·7,005 = 0,1238 m³/s = 123,8 L/s
Antwort
Q = 123,8 L/s
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: Q = 170,5 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Druckdifferenz aus dem Manometer
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,36 = 44498 Pa
Geschwindigkeit in der Engstelle
Kontinuitätsgleichung und Bernoulli zusammen liefern die ideale Geschwindigkeit in der Engstelle.
β = 150/300 = 0,5
v2 = √(2·44498/(1000·(1 − 0,0625))) = 9,743 m/s
Tatsächlicher Volumenstrom
Q = Cd·A2·v2 = 0,99·0,01767·9,743 = 0,1705 m³/s = 170,5 L/s
Antwort
Q = 170,5 L/s
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 7,492 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,3)·2,1²/(2·9,81) = 7,492 m
Antwort
hf = 7,492 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Δz = 16,06 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,018·150/0,1 = 27
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1
Gesamte Verlusthöhe
hf = 27·0,5164 = 13,94 m
hm = 4,1·0,5164 = 2,117 m
Δz = hf + hm = 16,06 m
Antwort
Δz = 16,06 m
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 47,79 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·38 = 37,28 kW
Wellenleistung
Pshaft = Ph/η = 37,28/0,78 = 47,79 kW
Antwort
Pshaft = 47,79 kW
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: H = 81,45 m
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0,408 = 18,77 m
Druckhöhe
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m
Förderhöhe
Beide Wasserspiegel sind praktisch in Ruhe, daher gibt es keinen Geschwindigkeitsterm.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 27 + 35,68 + 18,77 = 81,45 m
Antwort
H = 81,45 m
9.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: Q = 5,131 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (5 + 1·0,8)·0,8 = 4,64 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0,8·√(1 + 1²) = 7,263 m
R = A/P = 0,6389 m
Geschwindigkeit
V = (1/0,03)·0,63892/3·0,0021/2 = 1,106 m/s
Volumenstrom
Q = A·V = 4,64·1,106 = 5,131 m³/s
Antwort
Q = 5,131 m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: S = 0,001718 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Hydraulischer Radius
R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m
Manning nach S auflösen
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,2823)² = 0,001718
Antwort
S = 0,001718
Das ist ein Gefälle von 1,718 m pro Kilometer.
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