Hydrostatische Kraft
- Druck in der Tiefe
- p = ρgh
- Kraft auf eine senkrechte Wand
- F = ρg·hc·A
- Druckmittelpunkt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechteck
- Ic = bH³/12
Hydromechanik und Wasserbau: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Kontinuität und Bernoulli
- Kontinuität
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Volumenstrom
- Q = A·v
- Kreisfläche
- A = πd²/4
Rohrreibung und Verlusthöhe
- Reynolds-Zahl
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Strömungsform
- laminar unter Re ≈ 2000, turbulent über Re ≈ 4000
- Mittlere Geschwindigkeit
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Örtliche Verluste
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Typische K-Werte
- Einlauf 0,5, Auslauf 1,0, 90°-Krümmer ≈ 0,3
- Druckverlust
- Δp = ρ·g·hf
- Zwei offene Behälter
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Freier Auslauf
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pumpen und Pumpenleistung
- Hydraulische Leistung
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Wellenleistung
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrische Leistung
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Förderhöhe
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Anlagenverluste
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Gerinneströmung (Manning)
- Manning-Gleichung
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Volumenstrom
- Q = A·V
- Hydraulischer Radius
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rechteck
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapez (Böschungsneigung z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Kreisrohr, voll oder halb gefüllt
- R = D/4
- Erforderliches Gefälle
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Übungsaufgaben
1.Hydrostatische KraftMittel
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1,5 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die resultierende hydrostatische Kraft F auf das Schütz.
d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische KraftSchwer
Ein senkrechtes, rechteckiges Schütz von 1 m Breite sitzt in der Wand eines Behälters mit Wasser, seine Oberkante liegt 3 m unter der Oberfläche. Bestimme die Tiefe ycp des Druckmittelpunkts unter der Oberfläche.
d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Kontinuität und BernoulliMittel
Wasser strömt mit 28 L/s durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 150 mm auf 75 mm verengt. Der Druck im engen Abschnitt beträgt 80 kPa. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Druck p1 im weiten Abschnitt.
Q = 28 L/sd1 = 150 mmd2 = 75 mmp2 = 80 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Kontinuität und BernoulliSchwer
Eine Springbrunnendüse zeigt senkrecht nach oben. Unmittelbar unter der Düse hat das Zulaufrohr 75 mm Durchmesser und einen Überdruck von 100 kPa. Der Austrittsdurchmesser der Düse beträgt 20 mm, der Höhenunterschied über die Düse ist vernachlässigbar. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten und Luftwiderstand die Höhe H, die der Strahl über die Düse steigt. Verwende g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 100 kPa (Überdruck)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Rohrreibung und VerlusthöheMittel
Wasser fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 1,3 m/s durch ein 800 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Verwende die Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,03 und g = 9,81 m/s². Bestimme die Reibungsverlusthöhe hf.
V = 1,3 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Rohrreibung und VerlusthöheSchwer
Zwei offene Behälter sind durch ein 100 m langes Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm und einer Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,018 verbunden. Der Wasserspiegel des oberen Behälters liegt 15 m über dem des unteren. Die örtlichen Verluste sind: ein scharfkantiger Einlauf (K = 0,5), 4 Krümmer (je K = 0,3), ein Ventil (K = 5) und der Auslauf in den unteren Behälter (K = 1,0). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Durchfluss Q in L/s.
Δz = 15 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pumpen und PumpenleistungMittel
In einem Versuch fördert eine Pumpe 150 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) gegen eine Förderhöhe von 80 m, während ihre Welle 138,5 kW aufnimmt. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Pumpenwirkungsgrad η in Prozent.
Q = 150 L/sH = 80 mPshaft = 138,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pumpen und PumpenleistungSchwer
Eine Pumpe fördert 50 L/s Wasser (ρ = 1000 kg/m³) aus einem offenen unteren Behälter in einen oberen Tank, dessen Wasserspiegel 23 m höher liegt. Die Rohrleitung ist 500 m lang, hat einen Innendurchmesser von 150 mm und eine Rohrreibungszahl nach Darcy f = 0,02; die Beiwerte der örtlichen Verluste ergeben zusammen ΣK = 8 (Einlauf und Auslauf eingeschlossen). Verwende g = 9,81 m/s². Der Pumpenwirkungsgrad beträgt 65 %. Bestimme die Wellenleistung Pshaft in kW.
Q = 50 L/sΔz = 23 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
9.Gerinneströmung (Manning)Mittel
Ein Trapezgerinne (glatter Beton) hat eine Sohlbreite von 5,5 m und eine Böschungsneigung von 3:1 (horizontal:vertikal). Wasser fließt gleichförmig 1,7 m tief. Manning n = 0,012, und das Sohlgefälle ist S = 0,0008. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.
b = 5,5 my = 1,7 mz = 3n = 0,012S = 0,0008
Q = m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)Schwer
Ein Trapezgerinne (Mauerwerk) mit einer Sohlbreite von 5,5 m und einer Böschungsneigung von 1,5:1 (horizontal:vertikal) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 2,1 m 67 m³/s abführen. Manning n = 0,015. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).
Q = 67 m³/sb = 5,5 my = 2,1 mz = 1,5n = 0,015
S = m/m
3Lösungen
1.Hydrostatische Kraft
Antwort: F = 117,7 kN
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN
Antwort
F = 117,7 kN
2.Hydrostatische Kraft
Antwort: ycp = 4,083 m
Hydrostatische Kraft auf eine ebene Fläche: F = ρ·g·yc·A. Sie greift im Druckmittelpunkt an, ycp = yc + Ic/(ycA), der immer unterhalb des Schwerpunkts liegt.
Schwerpunkttiefe und Fläche
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Resultierende Kraft
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·2 = 78,48 kN
Druckmittelpunkt
Der Druck nimmt mit der Tiefe zu, daher greift die Resultierende unterhalb des Schwerpunkts an.
Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 0,6667/(4·2) = 4,083 m
Antwort
ycp = 4,083 m
3.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: p1 = 98,83 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Geschwindigkeiten
v1 = Q/A1 = 0,028/0,01767 = 1,584 m/s
v2 = Q/A2 = 0,028/0,004418 = 6,338 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 80 + ½·1000·(6,338² − 1,584²)/1000 = 80 + 18,83 = 98,83 kPa
Antwort
p1 = 98,83 kPa
4.Kontinuität und Bernoulli
Antwort: H = 10,25 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Austrittsgeschwindigkeit
β = 20/75 = 0,2667
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0,9949)) = 14,18 m/s
Höhe des Strahls
Bernoulli entlang des Strahls: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null und der Druck wieder der Atmosphärendruck.
H = v2²/(2g) = 14,18²/(2·9,81) = 10,25 m
Antwort
H = 10,25 m
5.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: hf = 20,67 m
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Geschwindigkeitshöhe
V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(800/0,1)·1,3²/(2·9,81) = 20,67 m
Antwort
hf = 20,67 m
6.Rohrreibung und Verlusthöhe
Antwort: Q = 26,58 L/s
Rohrströmung: Die Reynolds-Zahl Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ unterscheidet laminare Strömung (Re unter etwa 2000) von turbulenter Strömung (über etwa 4000). Reibung entlang eines Rohrs kostet die Verlusthöhe nach Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Formstücke, Armaturen, Einlauf und Auslauf erzeugen zusätzlich örtliche Verluste hm = ΣK·V²/(2g). Zwischen zwei offenen Wasserspiegeln liefert die Energiegleichung Δz = hf + hm, einschließlich des Auslaufverlusts K = 1.
Verlustbeiwerte
f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Energiegleichung
Beide Wasserspiegel sind offen zur Atmosphäre und praktisch in Ruhe, daher geht das gesamte Δz in der Rohrleitung verloren.
15 = (18 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·15/25,7) = 3,384 m/s
Volumenstrom
Q = V·π·D²/4 = 3,384·0,007854 = 0,02658 m³/s = 26,58 L/s
Antwort
Q = 26,58 L/s
7.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: η = 85 %
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Hydraulische Leistung
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·80 = 117,7 kW
Wirkungsgrad
η = Ph/Pshaft = 117,7/138,5 = 85%
Antwort
η = 85%
8.Pumpen und Pumpenleistung
Antwort: Pshaft = 40,35 kW
Pumpenleistung: Die an das Wasser abgegebene Leistung ist die hydraulische Leistung Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Die Welle muss mehr liefern, weil in der Pumpe Verluste entstehen: Pshaft = Ph/ηpump, und der Motor nimmt Pel = Pshaft/ηmotor auf. Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Energiegleichung: geodätische Höhe + Druckhöhe + alle Reibungs- und örtlichen Verluste.
Geschwindigkeit
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Verlusthöhen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 8)·0,408 = 30,47 m
Förderhöhe
H = Δz + hL = 23 + 30,47 = 53,47 m
Wellenleistung
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·53,47/0,65 = 40,35 kW
Antwort
Pshaft = 40,35 kW
9.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: Q = 45,5 m³/s
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (5,5 + 3·1,7)·1,7 = 18,02 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,7·√(1 + 3²) = 16,25 m
R = A/P = 1,109 m
Geschwindigkeit
V = (1/0,012)·1,1092/3·0,00081/2 = 2,525 m/s
Volumenstrom
Q = A·V = 18,02·2,525 = 45,5 m³/s
Antwort
Q = 45,5 m³/s
10.Gerinneströmung (Manning)
Antwort: S = 0,001974 m/m
Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.
Geometrie
A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1,5·2,1)·2,1 = 18,17 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·2,1·√(1 + 1,5²) = 13,07 m
R = A/P = 1,39 m
Manning nach S auflösen
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·67/(18,17·1,245) = 0,04443
S = 0,04443² = 0,001974
Antwort
S = 0,001974
Das ist ein Gefälle von 1,974 m pro Kilometer.
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