Maschinenelemente: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zahnräder & Zahnradgetriebe

Kämmende Zahnräder: n₁·N₁ = n₂·N₂
Drehmoment: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Leistung: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Mehrstufiges Getriebe: Gesamtübersetzung = Produkt der Stufenübersetzungen

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische Schwingungen

Eigenfrequenz: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Aus der statischen Durchbiegung: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische Dämpfung: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dämpfungsgrad: ζ = c/c_c
Gedämpfte Eigenfrequenz: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarithmisches Dekrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Federn parallel: k = k₁ + k₂
Federn in Reihe: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Übungsaufgaben

1.Zahnräder & ZahnradgetriebeMittel

Ein Motor mit 5,5 kW und 1440 rpm treibt ein Ritzel mit 24 Zähnen und dem Modul 4 mm an. Bestimme die Umfangskraft F_t an den Zähnen des Ritzels.

P = 5,5 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 4 mm

F_t = N

2.Zahnräder & ZahnradgetriebeSchwer

In einem mehrstufigen Zahnradgetriebe treibt Rad A (12 Zähne) auf der Antriebswelle mit 1500 rpm das Rad B (45 Zähne) an. Rad C (18 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Rad D (32 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Bestimme die Abtriebsdrehzahl n_out.

n_in = 1500 rpmA = 12B = 45C = 18D = 32

n_out = rpm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 200 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing überträgt 15 kW bei 1450 rpm. Die Schubspannung darf 50 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,25° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −30 MPa und τₓᵧ = −20 MPa, mit σ_z = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τ_abs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σ_x = −30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −10 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 45° im Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = −10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 30 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Aluminium (Durchmesser 60 mm, Länge 300 mm, E = 70 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,2 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Aluminium, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 110 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 2 m, Kupfer (E = 117 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 2 m, Stahl (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 25 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 25 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

11.Mechanische SchwingungenMittel

Eine Masse von 250 kg wird von einer Feder mit einer Steifigkeit von 50 kN/m und einem viskosen Dämpfer mit einer Dämpfungskonstante von 4240 N·s/m getragen. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.

m = 250 kgk = 50 kN/mc = 4240 N·s/m

ζ =

12.Mechanische SchwingungenSchwer

Eine Masse von 50 kg hängt an zwei nebeneinander (parallel) angeordneten Federn mit den Steifigkeiten k₁ = 5 kN/m und k₂ = 10 kN/m. Die Masse bleibt waagerecht. Bestimme die Ersatzsteifigkeit k_eq des Federsystems in kN/m.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Lösungen

1.Zahnräder & Zahnradgetriebe

Antwort: F_t = 759,9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Drehmoment am Ritzel

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 5500/150,8 = 36,47 N·m

Teilkreisdurchmesser

d = m·N = 4·24 = 96 mm

Umfangskraft

F_t = 2T/d = 2·36,47/0,096 = 759,9 N

Antwort

F_t = 759,9 N

2.Zahnräder & Zahnradgetriebe

Antwort: n_out = 225 rpm

Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.

Erste Stufe

n_B = 1500·12/45 = 400 rpm = n_C

Zweite Stufe

n_out = 400·18/32 = 225 rpm

Antwort

n_out = 225 rpm

Gesamtübersetzung = 6,667 : 1

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 3,507 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(39000·251327) = 0,06121 rad

φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Antwort

φ = 3,507°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 49,31 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 98,79 N·m = 98786 N·mm

d_τ = ∛(16·98786/(π·50)) = 21,59 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·98786/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 49,31 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(21,59, 49,31) = 49,31 mm

Antwort

d = 49,31 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_abs = 25 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σ_max − σ_min)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

Hauptspannungen in der Ebene

C = −30 MPa, R = √(0² + (−20)²) = 20 MPa

σ₁ = −10 MPa, σ₂ = −50 MPa, σ_z = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(40, 10, 50)/2 = 25 MPa

Antwort

τ_abs = 25 MPa

Hier ist der Kreis außerhalb der Ebene maßgebend: Das absolute Maximum ist größer als das Maximum R in der Ebene.

6.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 20 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 10 + −20·0 + −10·−1 = 20 MPa

Antwort

σ_θ = 20 MPa

7.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 54,98 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·2827) = 1,516 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,2/3,638 × 10⁻⁶ = 54978 N = 54,98 kN

Antwort

P = 54,98 kN

8.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 12,39 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 155,6·2000/117000 = 2,66 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 972,6·2000/200000 = 9,726 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 12,39 mm

Antwort

δ = 12,39 mm

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 28,56 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/3000² = 28558 N = 28,56 kN

Antwort

P_cr = 28,56 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 36,84 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 36,84 mm

Antwort

d = 36,84 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 108,6, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

11.Mechanische Schwingungen

Antwort: ζ = 0,5996

Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ω_n = √(k/m) in rad/s, und f_n = ω_n/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/c_c, mit der kritischen Dämpfung c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische Dämpfung

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·250) = 7071 N·s/m

Dämpfungsgrad

ζ = c/c_c = 4240/7071 = 0,5996

Antwort

ζ = 0,5996

ζ < 1, also ist das System unterkritisch gedämpft und schwingt beim Abklingen.

12.Mechanische Schwingungen

Antwort: k_eq = 15 kN/m

Ersatzsteifigkeit

Nebeneinander angeordnete Federn haben denselben Weg, und ihre Kräfte addieren sich, daher addieren sich ihre Steifigkeiten einfach: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 10 = 15 kN/m

Antwort

k_eq = 15 kN/m

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