Maschinenelemente: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Zahnräder & Zahnradgetriebe

Kämmende Zahnräder: n₁·N₁ = n₂·N₂
Drehmoment: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Leistung: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Mehrstufiges Getriebe: Gesamtübersetzung = Produkt der Stufenübersetzungen

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische Schwingungen

Eigenfrequenz: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Aus der statischen Durchbiegung: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische Dämpfung: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dämpfungsgrad: ζ = c/c_c
Gedämpfte Eigenfrequenz: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarithmisches Dekrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Federn parallel: k = k₁ + k₂
Federn in Reihe: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Übungsaufgaben

1.Zahnräder & ZahnradgetriebeMittel

Ein Motor mit 2,2 kW und 1450 rpm treibt ein Ritzel mit 18 Zähnen an, das mit einem Rad mit 40 Zähnen kämmt. Das Zahnradpaar hat einen Wirkungsgrad von 96 %. Bestimme das Drehmoment T₁ an der Motorwelle.

P = 2,2 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 18N₂ = 40η = 96%

T₁ = N·m

2.Zahnräder & ZahnradgetriebeSchwer

In einem mehrstufigen Zahnradgetriebe treibt Rad A (25 Zähne) auf der Antriebswelle mit 1450 rpm das Rad B (30 Zähne) an. Rad C (40 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Rad D (50 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Bestimme die Abtriebsdrehzahl n_out.

n_in = 1450 rpmA = 25B = 30C = 40D = 50

n_out = rpm

3.Torsion von WellenMittel

Eine abgesetzte Vollwelle aus Messing ist in A eingespannt. Abschnitt AB hat 40 mm Durchmesser und 2,5 m Länge; Abschnitt BC hat 30 mm Durchmesser und 0,8 m Länge. Am freien Ende C wirkt ein Drehmoment von 100 N·m. Bestimme den Verdrehwinkel φ_C des Endes C in Grad.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl mit 40 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 1,2 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 400 N·m, und am freien Ende C, weitere 1,5 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 200 N·m im entgegengesetzten Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

d = 40 mmT_B = 400 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,2 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 420 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von von Mises (Gestaltänderungsenergiehypothese).

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 120 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 30 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 1 m, Messing (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Sie muss 30 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 30 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

11.Mechanische SchwingungenMittel

Beim Ausschwingversuch an einem gedämpften Feder-Masse-System folgt auf einen Auslenkungsscheitel von 30 mm 2 Perioden später ein Scheitel von 10,9 mm. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.

x₀ = 30 mmx₂ = 10,9 mmn = 2

ζ =

12.Mechanische SchwingungenSchwer

Eine Masse von 10 kg hängt an zwei nebeneinander (parallel) angeordneten Federn mit den Steifigkeiten k₁ = 100 kN/m und k₂ = 20 kN/m. Die Masse bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen der Federn. Bestimme die Eigenfrequenz f_n der vertikalen Schwingung in Hz.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Lösungen

1.Zahnräder & Zahnradgetriebe

Antwort: T₁ = 14,49 N·m

Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.

Motordrehmoment

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/151,8 = 14,49 N·m

Antwort

T₁ = 14,49 N·m

2.Zahnräder & Zahnradgetriebe

Antwort: n_out = 966,7 rpm

Erste Stufe

n_B = 1450·25/30 = 1208 rpm = n_C

Zweite Stufe

n_out = 1208·40/50 = 966,7 rpm

Antwort

n_out = 966,7 rpm

Gesamtübersetzung = 1,5 : 1

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 2,939 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polare Flächenträgheitsmomente

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehung jedes Abschnitts

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·2500/(39000·251327) = 0,02551 rad

φ_BC = 100000·800/(39000·79522) = 0,0258 rad

Gesamtverdrehung

φ_C = 0,02551 + 0,0258 = 0,0513 rad = 2,939°

Antwort

φ_C = 2,939°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 15,92 MPa

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 400 = −200 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Antwort

τ_max = 15,92 MPa

5.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = −80,01 °

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, −80 − 30) = −160°

Winkel am Element

θ_p = −80,01°

Antwort

θ_p = −80,01°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

6.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 4,2

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −20 MPa, R = 56,57 MPa

σ₁ = 36,57 MPa, σ₂ = −76,57 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(36,57² − 36,57·(−76,57) + (−76,57)²) = 100 MPa

n = 420/100 = 4,2

Antwort

n = 4,2

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

7.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,698 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/706,9 = 169,8 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 169,8/100000 = 0,001698 = 1698 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,001698·1000 mm = 1,698 mm

Antwort

δ = 1,698 mm

8.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 3,501 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42,44·2000/100000 = 0,8488 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265,3·1000/100000 = 2,653 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,501 mm

Antwort

δ = 3,501 mm

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 17,8 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2100² = 17797 N = 17,8 kN

Antwort

P_cr = 17,8 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 94,46 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 94,46 mm

Antwort

d = 94,46 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 254,1, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

11.Mechanische Schwingungen

Antwort: ζ = 0,08031

Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ω_n = √(k/m) in rad/s, und f_n = ω_n/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/c_c, mit der kritischen Dämpfung c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logarithmisches Dekrement

δ = (1/2)·ln(30/10,9) = 0,5062

Dämpfungsgrad

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5062/√(39,48 + 0,2563) = 0,08031

Antwort

ζ = 0,08031

12.Mechanische Schwingungen

Antwort: f_n = 17,43 Hz

Ersatzsteifigkeit

Nebeneinander angeordnete Federn haben denselben Weg, und ihre Kräfte addieren sich, daher addieren sich ihre Steifigkeiten einfach: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 20 = 120 kN/m

Eigenfrequenz

ω_n = √(120000/10) = 109,5 rad/s

f_n = 109,5/(2π) = 17,43 Hz

Antwort

f_n = 17,43 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design