Maschinenelemente: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zahnräder & Zahnradgetriebe

Kämmende Zahnräder: n₁·N₁ = n₂·N₂
Drehmoment: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Leistung: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Mehrstufiges Getriebe: Gesamtübersetzung = Produkt der Stufenübersetzungen

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische Schwingungen

Eigenfrequenz: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Aus der statischen Durchbiegung: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische Dämpfung: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dämpfungsgrad: ζ = c/c_c
Gedämpfte Eigenfrequenz: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logarithmisches Dekrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Federn parallel: k = k₁ + k₂
Federn in Reihe: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Übungsaufgaben

1.Zahnräder & ZahnradgetriebeMittel

Ein Motor mit 15 kW und 1450 rpm treibt ein Ritzel mit 25 Zähnen und dem Modul 4 mm an. Bestimme die Umfangskraft F_t an den Zähnen des Ritzels.

P = 15 kWn = 1450 rpmN₁ = 25m = 4 mm

F_t = N

2.Zahnräder & ZahnradgetriebeSchwer

Ein offener Riemen verbindet eine treibende Scheibe mit 150 mm bei 2880 rpm mit einer Scheibe mit 400 mm; die Mittelpunkte sind 500 mm voneinander entfernt. Der Reibungskoeffizient beträgt 0,35, und die Zugkraft im Lasttrum darf 800 N nicht überschreiten. Bestimme die größte Leistung P, die der Riemen ohne Durchrutschen übertragen kann, in kW (Fliehkrafteffekte vernachlässigen).

d₁ = 150 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 400 mmC = 500 mmμ = 0,35T₁ = 800 N

P = kW

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl mit 50 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 3 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 250 N·m, und am freien Ende C, weitere 1,5 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 2000 N·m im gleichen Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

d = 50 mmT_B = 250 N·mT_C = 2000 N·mAB = 3 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 150 MPa, σᵧ = −50 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

6.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 60 MPa, σᵧ = 20 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 50° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

7.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Kupfer unter der axialen Last.

P = 120 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 10 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 1,5 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 1 m, Aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 120 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 120 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

11.Mechanische SchwingungenMittel

Eine Masse von 8 kg wird von einer Feder mit einer Steifigkeit von 10 kN/m und einem viskosen Dämpfer mit einer Dämpfungskonstante von 280 N·s/m getragen. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.

m = 8 kgk = 10 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.Mechanische SchwingungenSchwer

Eine Masse von 40 kg hängt an zwei hintereinander (in Reihe) geschalteten Federn: Die obere Feder hat k₁ = 30 kN/m, die untere k₂ = 80 kN/m. Bestimme die Ersatzsteifigkeit k_eq des Federsystems in kN/m.

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Lösungen

1.Zahnräder & Zahnradgetriebe

Antwort: F_t = 1976 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Drehmoment am Ritzel

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Teilkreisdurchmesser

d = m·N = 4·25 = 100 mm

Umfangskraft

F_t = 2T/d = 2·98,79/0,1 = 1976 N

Antwort

F_t = 1976 N

2.Zahnräder & Zahnradgetriebe

Antwort: P = 10,9 kW

Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = e^μθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.

Umschlingungswinkel

θ = 2,636 rad

Zugkraft im Leertrum

e^μθ = e^0,9227 = 2,516, T₂ = 800/2,516 = 318 N

Leistung

P = (800 − 318)·22,62 = 10,9 kW

Antwort

P = 10,9 kW

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 1,425 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·251327) = 0,02487 rad

φ = 0,02487·180/π = 1,425°

Antwort

φ = 1,425°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 91,67 MPa

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 250 = 2250 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|_max = 2250 N·m

τ_max = 16·2,25 × 10⁶/(π·50³) = 91,67 MPa

Antwort

τ_max = 91,67 MPa

5.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = −53,35 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −30/104,4 = −0,2873, sin 2θ_s = −100/104,4 = −0,9578

2θ_s = atan2(−100, −30) = −106,7°

Winkel am Element

θ_s = −53,35°

Probe: θ_s − θ_p = −53,35 − (−8,35) = −45°

Antwort

θ_s = −53,35°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

6.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 56,22 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 40 + 20·−0,1736 + 20·0,9848 = 56,22 MPa

Antwort

σ_θ = 56,22 MPa

7.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 6,529 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 120·1000/314,2 = 382 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Kupfer = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 382/117000 = 0,003265 = 3265 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,003265·2000 mm = 6,529 mm

Antwort

δ = 6,529 mm

8.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,5144 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7,958·1500/200000 = 0,05968 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31,83·1000/70000 = 0,4547 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,5144 mm

Antwort

δ = 0,5144 mm

9.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 16,84 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2500² = 16844 N = 16,84 kN

Antwort

P_cr = 16,84 kN

10.Knicken von Stützen

Antwort: d = 114,2 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 114,2 mm

Antwort

d = 114,2 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 140,2, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

11.Mechanische Schwingungen

Antwort: ζ = 0,495

Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ω_n = √(k/m) in rad/s, und f_n = ω_n/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/c_c, mit der kritischen Dämpfung c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische Dämpfung

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·8) = 565,7 N·s/m

Dämpfungsgrad

ζ = c/c_c = 280/565,7 = 0,495

Antwort

ζ = 0,495

ζ < 1, also ist das System unterkritisch gedämpft und schwingt beim Abklingen.

12.Mechanische Schwingungen

Antwort: k_eq = 21,82 kN/m

Ersatzsteifigkeit

Federn in Reihe übertragen dieselbe Kraft, und ihre Wege addieren sich, daher werden die Kehrwerte addiert: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/80 → k_eq = 30·80/(30 + 80) = 21,82 kN/m

Antwort

k_eq = 21,82 kN/m

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