Zahnräder & Zahnradgetriebe
- Kämmende Zahnräder
- n1·N1 = n2·N2
- Drehmoment
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Leistung
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Mehrstufiges Getriebe
- Gesamtübersetzung = Produkt der Stufenübersetzungen
Maschinenelemente: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Torsion von Wellen
- Schubspannung
- τ = T·r/J
- Vollwelle
- J = πd⁴/32
- Hohlwelle
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Verdrehwinkel
- φ = TL/(GJ)
- Leistung
- P = T·ω = 2πnT/60
Methode
- Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
- Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
- Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
- Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.
Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation
- Mittelpunkt
- C = (σx + σy)/2
- Radius
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Hauptspannungen
- σ1,2 = C ± R
- Hauptrichtung
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Geneigter Schnitt
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Methode
- Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
- Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
- Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Normalspannung und Dehnung
- Normalspannung
- σ = F/A
- Dehnung
- ε = ΔL/L
- Hookesches Gesetz
- σ = E·ε
- Verlängerung
- ΔL = FL/(EA)
- Wärmedehnung
- εT = α·ΔT
Knicken von Stützen
- Eulersche Knicklast
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Knicklängenbeiwert
- K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
- Kritische Spannung
- σcr = Pcr/A
- Schlankheit
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Mechanische Schwingungen
- Eigenfrequenz
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Aus der statischen Durchbiegung
- ωn = √(g/δst)
- Kritische Dämpfung
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Dämpfungsgrad
- ζ = c/cc
- Gedämpfte Eigenfrequenz
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Logarithmisches Dekrement
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Federn parallel
- k = k1 + k2
- Federn in Reihe
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Übungsaufgaben
1.Zahnräder & ZahnradgetriebeMittel
Ein Motor mit 0,37 kW und 1440 rpm treibt eine Schnecke mit 3 Gang/Gängen an. Das Schneckenrad hat 50 Zähne, und der Wirkungsgrad des Getriebes beträgt 70 %. Bestimme das Abtriebsdrehmoment Tw an der Welle des Schneckenrads.
z = 3Nw = 50n = 1440 rpmP = 0,37 kWη = 70%
Tw = N·m
2.Zahnräder & ZahnradgetriebeSchwer
Ein Motor mit 2,2 kW und 1450 rpm treibt Zahnrad A (25 Zähne) an, das mit Zahnrad B (45 Zähne) kämmt. Zahnrad C (32 Zähne) auf derselben Welle wie B treibt Zahnrad D (45 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Jeder Zahneingriff hat einen Wirkungsgrad von 97 %. Bestimme das Abtriebsdrehmoment Tout.
P = 2,2 kWnin = 1450 rpmA = 25B = 45C = 32D = 45ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.Torsion von WellenMittel
Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.
T = 1000 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsion von WellenSchwer
Eine Vollwelle aus Stahl mit 60 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 2 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 200 N·m, und am freien Ende C, weitere 1,5 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 1000 N·m im entgegengesetzten Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τmax in der Welle.
d = 60 mmTB = 200 N·mTC = 1000 N·mAB = 2 mBC = 1,5 m
τmax = MPa
5.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel
In einem Punkt gilt σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θs zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).
σx = 30 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
6.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer
An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 80 MPa, σᵧ = −10 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τθ in einem Schnitt, dessen Normale um 30° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).
σx = 80 MPaσy = −10 MPaτxy = −20 MPaθ = 30°
τθ = MPa
7.Normalspannung und DehnungMittel
Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Aluminium unter der axialen Last.
P = 115 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Normalspannung und DehnungSchwer
Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σmax im Stab.
P = 65 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 1,5 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 0,5 m, Messing (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Knicken von StützenMittel
Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.
L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Knicken von StützenSchwer
Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.
L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Mechanische SchwingungenMittel
Eine Masse von 20 kg an einer Feder mit einer Steifigkeit von 5 kN/m hat einen viskosen Dämpfer, der einen Dämpfungsgrad von 0,4 ergibt. Bestimme die gedämpfte Eigenfrequenz fd ihrer freien Schwingung in Hz.
m = 20 kgk = 5 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Mechanische SchwingungenSchwer
Eine Masse von 100 kg hängt an der Feder k₃ = 60 kN/m. Das obere Ende von k₃ ist an einem starren Balken befestigt, der an zwei nebeneinander angeordneten Federn hängt, k₁ = 100 kN/m und k₂ = 100 kN/m; der Balken bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen von Federn und Balken. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
m = 100 kgk1 = 100 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 60 kN/m
fn = Hz
3Lösungen
1.Zahnräder & Zahnradgetriebe
Antwort: Tw = 28,63 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Drehzahl des Schneckenrads
nw = n·z/Nw = 1440·3/50 = 86,4 rpm
Abtriebsdrehmoment
ωw = 2π·86,4/60 = 9,048 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0,7·370/9,048 = 28,63 N·m
Antwort
Tw = 28,63 N·m
2.Zahnräder & Zahnradgetriebe
Antwort: Tout = 34,51 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Abtriebsdrehzahl
nout = 1450·(25/45)·(32/45) = 572,8 rpm
ωout = 2π·572,8/60 = 59,99 rad/s
Abtriebsleistung und Drehmoment
Pout = 2200·0,97² = 2070 W
Tout = Pout/ωout = 2070/59,99 = 34,51 N·m
Antwort
Tout = 34,51 N·m
3.Torsion von Wellen
Antwort: φ = 10,52 °
Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.
Polares Flächenträgheitsmoment
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Verdrehwinkel
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(26000·251327) = 0,1836 rad
φ = 0,1836·180/π = 10,52°
Antwort
φ = 10,52°
4.Torsion von Wellen
Antwort: τmax = 23,58 MPa
Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.
Innere Drehmomente
Drehsinn von TC als positiv angenommen.
TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 200 = 800 N·m
Maximale Schubspannung
Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).
|T|max = 1000 N·m
τmax = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23,58 MPa
Antwort
τmax = 23,58 MPa
5.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation
Antwort: θs = −82,98 °
Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel am Kreis
Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.
cos 2θs = −20/20,62 = −0,9701, sin 2θs = −5/20,62 = −0,2425
2θs = atan2(−5, −20) = −166°
Winkel am Element
θs = −82,98°
Probe: θs − θp = −82,98 − (−37,98) = −45°
Antwort
θs = −82,98°
Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.
6.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation
Antwort: τθ = −48,97 MPa
Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Transformationsgleichung
τθ = −45·0,866 + −20·0,5 = −48,97 MPa
Antwort
τθ = −48,97 MPa
7.Normalspannung und Dehnung
Antwort: δ = 10,46 mm
Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).
Spannung
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 115·1000/314,2 = 366,1 MPa
Dehnung (hookesches Gesetz)
E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 366,1/70000 = 0,005229 = 5229 µε
Verlängerung
δ = ε·L = 0,005229·2000 mm = 10,46 mm
Antwort
δ = 10,46 mm
8.Normalspannung und Dehnung
Antwort: σmax = 574,7 MPa
Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.
Gleiche Kraft in beiden Abschnitten
Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 51,73 MPa
σ2 = 574,7 MPa
Größte Spannung
Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.
σmax = 574,7 MPa
Antwort
σmax = 574,7 MPa
9.Knicken von Stützen
Antwort: Pcr = 116,6 kN
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Kleinstes Flächenträgheitsmoment
Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
Knicklänge
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
Kritische Last
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1050² = 116563 N = 116,6 kN
Antwort
Pcr = 116,6 kN
10.Knicken von Stützen
Antwort: σcr = 2,763 MPa
Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.
Kleinstes Flächenträgheitsmoment
Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Trägheitsradius und Schlankheit
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/20 = 500
Kritische Spannung
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa
Antwort
σcr = 2,763 MPa
11.Mechanische Schwingungen
Antwort: fd = 2,306 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ungedämpfte Eigenfrequenz
ωn = √(5000/20) = 15,81 rad/s
fn = 15,81/(2π) = 2,516 Hz
Gedämpfte Eigenfrequenz
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,516·√(1 − 0,4²) = 2,306 Hz
Antwort
fd = 2,306 Hz
12.Mechanische Schwingungen
Antwort: fn = 3,419 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ersatzsteifigkeit
Nur k1 und k2 liegen parallel. Dieses Paar liegt in Reihe mit k3, also addiere die Kehrwerte.
k12 = 100 + 100 = 200 kN/m
keq = 200·60/(200 + 60) = 46,15 kN/m
Eigenfrequenz
ωn = √(46154/100) = 21,48 rad/s
fn = 21,48/(2π) = 3,419 Hz
Antwort
fn = 3,419 Hz
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