Physik 1: Mechanik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 16 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Kinematik

Geschwindigkeit: v = v₀ + a·t
Weg: s = v₀·t + ½·a·t²
Ohne Zeit: v² = v₀² + 2·a·s
Einheiten: 1 m/s = 3,6 km/h

Methode

Schreibe auf, was du kennst: v₀, v, a, t und s, mit Einheiten.
Wähle die Gleichung, die deine drei bekannten Größen und die Unbekannte enthält.
Lege eine positive Richtung fest und gib entgegengesetzten Größen ein Minuszeichen.
Löse und prüfe, ob das Ergebnis physikalisch sinnvoll ist.

Newtonsche Gesetze

Zweites Newtonsches Gesetz: ΣF = m·a
Gewichtskraft: W = m·g
Gleitreibung: F_f = μ·N
Auf der schiefen Ebene: hangabwärts: m·g·sin θ, senkrecht: m·g·cos θ

Methode

Zeichne ein Freikörperbild mit allen Kräften, die auf den Körper wirken.
Wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung.
Zerlege die Kräfte in Komponenten entlang und senkrecht zur Bewegung (auf der schiefen Ebene: m·g·sin θ hangabwärts, m·g·cos θ in die Ebene hinein).
Wende ΣF = m·a entlang der Bewegung an; die Reibung ist μ·N entgegen der Bewegung.

Schiefer Wurf

Komponenten: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Position: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maximale Höhe: H = h + v_y²/(2g)
Wurfweite (ebener Boden): R = v₀²·sin 2θ/g

Methode

Zerlege die Abwurfgeschwindigkeit in Komponenten: v_x = v₀·cos θ und v_y = v₀·sin θ.
Die horizontale Bewegung hat konstante Geschwindigkeit; die vertikale Bewegung hat die Beschleunigung −g.
Bestimme die Flugzeit aus der vertikalen Bewegung.
Setze diese Zeit in die horizontale Bewegung ein, um die Wurfweite zu bestimmen.

Kreisbewegung

Zentripetalbeschleunigung: a = v²/r = ω²·r
Zentripetalkraft: F = m·v²/r
Winkelgeschwindigkeit: ω = v/r = 2π/T
Ebene Kurve, Reibung: v_max = √(μ·g·r)

Arbeit und Energie

Kinetische Energie: E_k = ½mv²
Potenzielle Energie: E_p = mgh
Energiebilanz: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Reibungsarbeit: W = μ·N·d
Leistung: P = W/t

Impuls & Stöße

Impuls: p = m·v
Erhaltung: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Vollständig unelastisch: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Kraftstoß: J = F·Δt = m·Δv

Methode

Wähle eine positive Richtung und gib jeder Geschwindigkeit ihr Vorzeichen.
Schreibe den Gesamtimpuls vorher auf: Σm·v.
Beim vollständig unelastischen Stoß bewegen sich die Körper danach gemeinsam; beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten.
Setze den Impuls vorher gleich dem Impuls nachher und löse.

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.KinematikMittel

Ein Auto, das mit 108 km/h fährt, bremst mit einer konstanten Verzögerung von 4,5 m/s² bis zum Stillstand. Bestimme den Bremsweg s.

v₀ = 108 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikSchwer

Eine Straßenbahn fährt aus dem Stand an und beschleunigt 10 s lang mit 3 m/s², fährt dann 6 s mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit 2,5 m/s² bis zum Stillstand. Bestimme die gesamte Strecke s zwischen den beiden Haltestellen.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 10 st₂ = 6 sa₃ = −2,5 m/s²

s = m

3.Newtonsche GesetzeMittel

Ein Schlitten mit 15 kg wird über ebenen Schnee mit einem Seil unter 40° über der Horizontalen mit einer Kraft von 70 N gezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,1. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Schlittens.

m = 15 kgF = 70 Nθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Newtonsche GesetzeSchwer

Zwei Klötze auf einem ebenen Boden sind durch einen leichten waagerechten Faden verbunden. Eine waagerechte Kraft von 115 N zieht den vorderen Klotz mit 11 kg; der Klotz mit 4 kg wird hinterhergezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt für beide Klötze 0,25. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a der Klötze.

m₁ = 4 kgm₂ = 11 kgF = 115 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Schiefer WurfMittel

Ein Ball wird von ebenem Boden unter 65° zur Horizontalen abgeworfen und landet 95 m entfernt. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Abwurfgeschwindigkeit v₀.

θ = 65°R = 95 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Schiefer WurfSchwer

Ein Ball wird vom Boden aus mit 29 m/s unter 65° zur Horizontalen geworfen. Er landet auf dem Weg nach unten auf dem Flachdach eines 11 m hohen Gebäudes. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den waagerechten Abstand x vom Abwurfpunkt bis zum Landepunkt.

v₀ = 29 m/sθ = 65°h_roof = 11 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.KreisbewegungMittel

Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 90 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,8. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit v_max, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.

r = 90 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.KreisbewegungSchwer

Ein Wagen mit 1 kg wird in 6,4 m Höhe auf einer reibungsfreien Bahn aus der Ruhe losgelassen und durchfährt einen senkrechten Looping mit dem Radius 2 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Normalkraft N_top der Bahn auf den Wagen am höchsten Punkt des Loopings.

m = 1 kgh = 6,4 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Arbeit und EnergieMittel

Ein Spielzeugwerfer hat eine senkrechte Feder mit der Federkonstante 1500 N/m. Eine Kugel mit 0,2 kg wird daraufgelegt, die Feder wird um 10 cm zusammengedrückt und dann losgelassen. Bestimme unter Vernachlässigung des Luftwiderstands und der Federmasse die Höhe h, die die Kugel steigt, gemessen von ihrer Lage bei zusammengedrückter Feder.

m = 0,2 kgk = 1500 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Arbeit und EnergieSchwer

Eine Feder mit der Federkonstante 2000 N/m am Fuß einer Schräge mit 30° Neigung wird durch einen Block mit 1 kg um 5 cm zusammengedrückt und losgelassen. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Block und Schräge beträgt 0,15. Wie weit d bewegt sich der Block vom Auslösepunkt die Schräge hinauf, bevor er stehen bleibt? (Vernachlässige die kurze Strecke, auf der die Feder schiebt, d. h. nimm Reibung und Schwerkraft über die ganze Strecke d an.)

m = 1 kgk = 2000 N/mx = 5 cmθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Impuls & StößeMittel

Ein Geschoss mit 10 g wird waagerecht in einen an leichten Schnüren hängenden Holzklotz mit 4 kg geschossen und bleibt darin stecken. Der Klotz schwingt hoch, bis er 10 cm höher ist als am Anfang. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.

m = 10 gM = 4 kgh = 10 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Impuls & StößeSchwer

Ein Ball mit 0,25 kg trifft mit 16 m/s auf eine Wand und prallt mit 13 m/s gerade zurück. Der Kontakt dauert 50 ms. Bestimme den Betrag des Kraftstoßes J, den die Wand auf den Ball ausübt.

m = 0,25 kgv_in = 16 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Federn & PendelMittel

Ein Fadenpendel hat eine Länge von 2 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.

L = 2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Federn & PendelSchwer

Eine Masse von 2,3 kg an einer Feder mit k = 150 N/m wird um 4 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit v_max.

m = 2,3 kgk = 150 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

15.Wellen, Schall & OptikMittel

Eine an beiden Enden eingespannte Saite soll ihre Schwingung „2. Harmonische“ bei 375 Hz haben; Wellen laufen darauf mit 300 m/s. Bestimme ihre Länge L.

v = 300 m/sn = 2f₂ = 375 Hz

L = m

16.Wellen, Schall & OptikSchwer

Licht der Wellenlänge 656 nm fällt senkrecht auf ein Gitter mit 100 Linien pro Millimeter. Bestimme den Winkel θ₃ des Maximums der Ordnung 3.

N = 100 mm⁻¹λ = 656 nmm = 3

θ₃ = °

3Lösungen

1.Kinematik

Antwort: s = 100 m

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.

Einheiten

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Bremsweg

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·4,5) = 100 m

Antwort

s = 100 m

2.Kinematik

Antwort: s = 510 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Höchstgeschwindigkeit

v = a₁·t₁ = 3·10 = 30 m/s

Strecke jeder Phase

s₁ = ½·3·10² = 150 m

s₂ = 30·6 = 180 m

s₃ = 30²/(2·2,5) = 180 m

Gesamtstrecke

s = 150 + 180 + 180 = 510 m

Antwort

s = 510 m

3.Newtonsche Gesetze

Antwort: a = 2,894 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Normalkraft

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 70·sin 40° = 102,2 N

Waagerechte Kräfte

m·a = F·cos θ − μ·N = 53,62 − 10,22

a = 43,41/15 = 2,894 m/s²

Antwort

a = 2,894 m/s²

4.Newtonsche Gesetze

Antwort: a = 5,214 m/s²

Gesamtsystem

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 36,79)/15 = 5,214 m/s²

Antwort

a = 5,214 m/s²

5.Schiefer Wurf

Antwort: v₀ = 34,88 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Die Formel für die Wurfweite nach v₀ auflösen

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·95/sin 130°) = 34,88 m/s

Antwort

v₀ = 34,88 m/s

6.Schiefer Wurf

Antwort: x = 60,06 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Abwurfgeschwindigkeit zerlegen

v_x = 12,26 m/s, v_y = 26,28 m/s

Zeit bis zur Landung auf dem Dach

Größere Lösung: Der Ball sinkt.

11 = 26,28·t − 4,905·t²

t = (26,28 + √(26,28² − 2·9,81·11))/9,81 = 4,901 s

Horizontale Entfernung

x = v_x·t = 12,26·4,901 = 60,06 m

Antwort

x = 60,06 m

7.Kreisbewegung

Antwort: v_max = 26,58 m/s

Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.

Die Reibung liefert die Zentripetalkraft

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·90) = 26,58 m/s

Antwort

v_max = 26,58 m/s (95,68 km/h)

8.Kreisbewegung

Antwort: N_top = 13,73 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Geschwindigkeit aus dem Energieerhaltungssatz

v² = 2·9,81·(6,4 − 2·2) = 47,09 m²/s²

Kräfte

Zum Mittelpunkt ist positiv.

N = m·v²/R − m·g = 1·47,09/2 − 9,81 = 13,73 N

Antwort

N_top = 13,73 N

9.Arbeit und Energie

Antwort: h = 3,823 m

Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).

Federenergie

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·1500·0,1² = 7,5 J

Höhe

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

h = ½kx²/(mg) = 7,5/1,962 = 3,823 m

Antwort

h = 3,823 m

10.Arbeit und Energie

Antwort: d = 0,4046 m

Federenergie

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·2000·0,05² = 2,5 J

Energiebilanz entlang der Schräge

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 2,5/(9,81·(0,5 + 0,15·0,866)) = 0,4046 m

Antwort

d = 0,4046 m

11.Impuls & Stöße

Antwort: v = 561,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Hochschwingen nach dem Aufprall

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,1) = 1,401 m/s

Stoß

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 4)·1,401/0,01 = 561,7 m/s

Antwort

v = 561,7 m/s

12.Impuls & Stöße

Antwort: J = 7,25 N·s

Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.

Impulsänderung

J = m·Δv = 0,25·(13 + 16) = 7,25 N·s

Antwort

J = 7,25 N·s

13.Federn & Pendel

Antwort: T = 2,837 s

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Periodendauer des Pendels

T = 2π·√(2/9,81) = 2,837 s

Antwort

T = 2,837 s

14.Federn & Pendel

Antwort: v_max = 0,323 m/s

Kreisfrequenz

ω = √(150/2,3) = 8,076 rad/s

Maximale Geschwindigkeit

v_max = A·ω = 0,04·8,076 = 0,323 m/s

Antwort

v_max = 0,323 m/s

15.Wellen, Schall & Optik

Antwort: L = 0,8 m

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, f_n = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Wellenlänge

λ = v/f = 300/375 = 0,8 m

Länge

L = nλ/2 = 2·0,8/2 = 0,8 m

Antwort

L = 0,8 m

16.Wellen, Schall & Optik

Antwort: θ₃ = 11,35 °

Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linienabstand

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

Gittergleichung

sin θ = mλ/d = 3·656 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0,1968

θ = 11,35°

Antwort

θ₃ = 11,35°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics