Physik 1: Mechanik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 16 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Kinematik

Geschwindigkeit: v = v₀ + a·t
Weg: s = v₀·t + ½·a·t²
Ohne Zeit: v² = v₀² + 2·a·s
Einheiten: 1 m/s = 3,6 km/h

Methode

Schreibe auf, was du kennst: v₀, v, a, t und s, mit Einheiten.
Wähle die Gleichung, die deine drei bekannten Größen und die Unbekannte enthält.
Lege eine positive Richtung fest und gib entgegengesetzten Größen ein Minuszeichen.
Löse und prüfe, ob das Ergebnis physikalisch sinnvoll ist.

Newtonsche Gesetze

Zweites Newtonsches Gesetz: ΣF = m·a
Gewichtskraft: W = m·g
Gleitreibung: F_f = μ·N
Auf der schiefen Ebene: hangabwärts: m·g·sin θ, senkrecht: m·g·cos θ

Methode

Zeichne ein Freikörperbild mit allen Kräften, die auf den Körper wirken.
Wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung.
Zerlege die Kräfte in Komponenten entlang und senkrecht zur Bewegung (auf der schiefen Ebene: m·g·sin θ hangabwärts, m·g·cos θ in die Ebene hinein).
Wende ΣF = m·a entlang der Bewegung an; die Reibung ist μ·N entgegen der Bewegung.

Schiefer Wurf

Komponenten: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Position: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maximale Höhe: H = h + v_y²/(2g)
Wurfweite (ebener Boden): R = v₀²·sin 2θ/g

Methode

Zerlege die Abwurfgeschwindigkeit in Komponenten: v_x = v₀·cos θ und v_y = v₀·sin θ.
Die horizontale Bewegung hat konstante Geschwindigkeit; die vertikale Bewegung hat die Beschleunigung −g.
Bestimme die Flugzeit aus der vertikalen Bewegung.
Setze diese Zeit in die horizontale Bewegung ein, um die Wurfweite zu bestimmen.

Kreisbewegung

Zentripetalbeschleunigung: a = v²/r = ω²·r
Zentripetalkraft: F = m·v²/r
Winkelgeschwindigkeit: ω = v/r = 2π/T
Ebene Kurve, Reibung: v_max = √(μ·g·r)

Arbeit und Energie

Kinetische Energie: E_k = ½mv²
Potenzielle Energie: E_p = mgh
Energiebilanz: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Reibungsarbeit: W = μ·N·d
Leistung: P = W/t

Impuls & Stöße

Impuls: p = m·v
Erhaltung: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Vollständig unelastisch: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Kraftstoß: J = F·Δt = m·Δv

Methode

Wähle eine positive Richtung und gib jeder Geschwindigkeit ihr Vorzeichen.
Schreibe den Gesamtimpuls vorher auf: Σm·v.
Beim vollständig unelastischen Stoß bewegen sich die Körper danach gemeinsam; beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten.
Setze den Impuls vorher gleich dem Impuls nachher und löse.

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.KinematikMittel

Ein Auto, das mit 54 km/h fährt, bremst mit einer konstanten Verzögerung von 4,5 m/s² bis zum Stillstand. Wie lange dauert das Bremsen? Bestimme t.

v₀ = 54 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikSchwer

Ein Ball wird von der Kante eines Dachs 10 m über dem Boden mit 6 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wie lange nach dem Abwurf trifft er auf den Boden? Bestimme t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Newtonsche GesetzeMittel

Massen von 5,5 kg und 3 kg hängen auf beiden Seiten einer leichten, reibungsfreien Rolle, verbunden durch einen leichten Faden. Das System wird aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T in der Schnur.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 3 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Newtonsche GesetzeSchwer

Ein Block mit 4 kg auf einem waagerechten Tisch ist über eine leichte Schnur, die über eine reibungsfreie Rolle läuft, mit einer hängenden Masse von 3,5 kg verbunden. Der Tisch ist reibungsfrei. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Systems.

m₁ = 4 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Schiefer WurfMittel

Ein Ball wird von ebenem Boden unter 25° zur Horizontalen abgeworfen und landet 70 m entfernt. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Abwurfgeschwindigkeit v₀.

θ = 25°R = 70 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Schiefer WurfSchwer

Ein Ball wird mit 11 m/s unter 30° zur Horizontalen von der Kante einer 5 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Höhe H über dem Boden am Fuß der Klippe.

v₀ = 11 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.KreisbewegungMittel

Eine Kurve mit dem Radius 170 m ist um 15° überhöht. Mit welcher Geschwindigkeit v kann ein Auto sie ganz ohne Reibung durchfahren? Verwende g = 9,81 m/s².

r = 170 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.KreisbewegungSchwer

Ein Ball an einer 1,3 m langen Schnur wird auf einem vertikalen Kreis herumgeschleudert. Verwende g = 9,81 m/s². Wie groß ist die kleinste Geschwindigkeit v_min am höchsten Punkt, bei der die Schnur gerade noch gespannt bleibt?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Arbeit und EnergieMittel

Ein Auto fährt mit 70 km/h auf einer ebenen Straße, bremst stark und rutscht mit blockierten Rädern bis zum Stillstand. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,7. Bestimme den Bremsweg d.

v = 70 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Arbeit und EnergieSchwer

Ein Block mit 15 kg startet aus der Ruhe am Fuß einer Schräge mit 20° Neigung und wird durch eine konstante Kraft von 115 N parallel zur Schräge hinaufgezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,15. Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, nachdem er sich 2 m die Schräge hinaufbewegt hat.

m = 15 kgF = 115 Nθ = 20°μ = 0,15d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Impuls & StößeMittel

Ein Geschoss mit 5 g wird waagerecht in einen an leichten Schnüren hängenden Holzklotz mit 5 kg geschossen und bleibt darin stecken. Der Klotz schwingt hoch, bis er 6 cm höher ist als am Anfang. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.

m = 5 gM = 5 kgh = 6 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Impuls & StößeSchwer

Ein Geschoss mit 20 g wird waagerecht in einen Klotz mit 1,5 kg geschossen, der an leichten Schnüren von 1,9 m Länge hängt, und bleibt darin stecken. Die Schnüre schwingen bis zu einem größten Winkel von 35° gegen die Vertikale aus. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.

m = 20 gM = 1,5 kgL = 1,9 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Federn & PendelMittel

Eine Astronautin stellt auf einem anderen Planeten fest, dass ein Fadenpendel von 2 m Länge bei kleinen Auslenkungen eine Periodendauer von 6,98 s hat. Bestimme die Fallbeschleunigung g auf diesem Planeten.

L = 2 mT = 6,98 s

g = m/s²

14.Federn & PendelSchwer

Ein Körper führt eine harmonische Schwingung mit der Periodendauer 1,4 s und der Amplitude 18 cm aus. Welche kürzeste Zeit t braucht er, um sich von seiner maximalen Auslenkung von 18 cm bis zu einer Auslenkung von 5,4 cm zu bewegen?

T = 1,4 sA = 18 cmx = 5,4 cm

t = s

15.Wellen, Schall & OptikMittel

Eine einseitig geschlossene Pfeife ist 0,5 m lang. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s. Bestimme die Frequenz f₅ ihrer Schwingung „5. Harmonische“.

v = 343 m/sn = 5L = 0,5 m

f₅ = Hz

16.Wellen, Schall & OptikSchwer

Licht der Wellenlänge 650 nm geht durch einen Einzelspalt der Breite 0,15 mm. Bestimme den Winkel θ₃ des dunklen Streifens Nummer 3 zur Geradeausrichtung.

λ = 650 nma = 0,15 mmm = 3

θ₃ = °

3Lösungen

1.Kinematik

Antwort: t = 3,333 s

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.

Einheiten

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Bremszeit

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/4,5 = 3,333 s

Antwort

t = 3,333 s

2.Kinematik

Antwort: t = 2,165 s

Bewegungsgleichung

Nach oben ist positiv, und der Boden liegt h₀ unter dem Startpunkt.

−10 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 10 = 0

Quadratische Gleichung lösen

Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,165 s

Antwort

t = 2,165 s

3.Newtonsche Gesetze

Antwort: T = 38,09 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Beschleunigung

Die resultierende antreibende Kraft ist die Differenz der Gewichtskräfte; sie bewegt die Gesamtmasse.

a = (5,5 − 3)·9,81/(5,5 + 3) = 2,885 m/s²

Fadenkraft aus der leichteren Masse

T − m₂·g = m₂·a → T = 3·(9,81 + 2,885) = 38,09 N

Antwort

T = 38,09 N

4.Newtonsche Gesetze

Antwort: a = 4,578 m/s²

Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.

Beschleunigung des Systems

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/7,5 = 4,578 m/s²

Antwort

a = 4,578 m/s²

5.Schiefer Wurf

Antwort: v₀ = 29,94 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Die Formel für die Wurfweite nach v₀ auflösen

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·70/sin 50°) = 29,94 m/s

Antwort

v₀ = 29,94 m/s

6.Schiefer Wurf

Antwort: H = 6,542 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Senkrechte Abwurfgeschwindigkeit

v_y = 11·sin 30° = 5,5 m/s

Anstieg über die Klippe

Δh = v_y²/(2g) = 5,5²/(2·9,81) = 1,542 m

Höhe über dem Boden

H = 5 + 1,542 = 6,542 m

Antwort

H = 6,542 m

7.Kreisbewegung

Antwort: v = 21,14 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Kräftegleichgewicht

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Geschwindigkeit

v = √(r·g·tan θ) = √(170·9,81·tan 15°) = 21,14 m/s

Antwort

v = 21,14 m/s

(76,1 km/h)

8.Kreisbewegung

Antwort: v_min = 3,571 m/s

Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.

Seilkraft null am höchsten Punkt

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Antwort

v_min = 3,571 m/s

9.Arbeit und Energie

Antwort: d = 27,53 m

Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).

Geschwindigkeit in Basiseinheiten

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Energiebilanz

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19,44²/(2·0,7·9,81) = 27,53 m

Antwort

d = 27,53 m

Doppelte Geschwindigkeit ergibt einen viermal so langen Bremsweg.

10.Arbeit und Energie

Antwort: v = 3,423 m/s

Kräfte entlang der Ebene

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 50,33 N

μ·mg·cos θ = 20,74 N

Arbeitssatz

½mv² = (115 − 71,07)·2 = 87,86 J

v = √(2·87,86/15) = 3,423 m/s

Antwort

v = 3,423 m/s

11.Impuls & Stöße

Antwort: v = 1086 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Hochschwingen nach dem Aufprall

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,06) = 1,085 m/s

Stoß

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 5)·1,085/0,005 = 1086 m/s

Antwort

v = 1086 m/s

12.Impuls & Stöße

Antwort: v = 197,3 m/s

Anstieg des Klotzes

h = L·(1 − cos θ) = 1,9·(1 − cos 35°) = 0,3436 m

Geschwindigkeit nach dem Aufprall

V = √(2·9,81·0,3436) = 2,596 m/s

Stoß

v = (m + M)·V/m = 1,52·2,596/0,02 = 197,3 m/s

Antwort

v = 197,3 m/s

13.Federn & Pendel

Antwort: g = 1,621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Nach g auflösen

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/6,98² = 1,621 m/s²

Antwort

g = 1,621 m/s²

14.Federn & Pendel

Antwort: t = 0,2821 s

Kreisfrequenz

ω = 2π/T = 2π/1,4 = 4,488 rad/s

Nach der Zeit auflösen

0,3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,3) = 1,266 rad

t = 1,266/4,488 = 0,2821 s

Antwort

t = 0,2821 s

15.Wellen, Schall & Optik

Antwort: f₅ = 857,5 Hz

Stehende Wellen und Doppler-Effekt: Eine an beiden Enden eingespannte Saite oder eine an beiden Enden offene Pfeife fasst ganze halbe Wellenlängen: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch: L = nλ/4 mit nur ungeraden n, f_n = n·v/(4L). Bewegen sich Quelle oder Beobachter entlang der Verbindungslinie, gilt f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Zwei Wellen fast gleicher Frequenz schweben mit |f₁ − f₂|.

Wellenlänge dieser Schwingung

λ = 4L/n = 4·0,5/5 = 0,4 m

Frequenz

f = v/λ = 343/0,4 = 857,5 Hz

Antwort

f₅ = 857,5 Hz

16.Wellen, Schall & Optik

Antwort: θ₃ = 0,7449 °

Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Bedingung für dunkle Streifen

sin θ = mλ/a = 0,013

θ = 0,7449°

Antwort

θ₃ = 0,7449°

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