Physik 1: Mechanik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 16 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Kinematik

Geschwindigkeit: v = v₀ + a·t
Weg: s = v₀·t + ½·a·t²
Ohne Zeit: v² = v₀² + 2·a·s
Einheiten: 1 m/s = 3,6 km/h

Methode

Schreibe auf, was du kennst: v₀, v, a, t und s, mit Einheiten.
Wähle die Gleichung, die deine drei bekannten Größen und die Unbekannte enthält.
Lege eine positive Richtung fest und gib entgegengesetzten Größen ein Minuszeichen.
Löse und prüfe, ob das Ergebnis physikalisch sinnvoll ist.

Newtonsche Gesetze

Zweites Newtonsches Gesetz: ΣF = m·a
Gewichtskraft: W = m·g
Gleitreibung: F_f = μ·N
Auf der schiefen Ebene: hangabwärts: m·g·sin θ, senkrecht: m·g·cos θ

Methode

Zeichne ein Freikörperbild mit allen Kräften, die auf den Körper wirken.
Wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung.
Zerlege die Kräfte in Komponenten entlang und senkrecht zur Bewegung (auf der schiefen Ebene: m·g·sin θ hangabwärts, m·g·cos θ in die Ebene hinein).
Wende ΣF = m·a entlang der Bewegung an; die Reibung ist μ·N entgegen der Bewegung.

Schiefer Wurf

Komponenten: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Position: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maximale Höhe: H = h + v_y²/(2g)
Wurfweite (ebener Boden): R = v₀²·sin 2θ/g

Methode

Zerlege die Abwurfgeschwindigkeit in Komponenten: v_x = v₀·cos θ und v_y = v₀·sin θ.
Die horizontale Bewegung hat konstante Geschwindigkeit; die vertikale Bewegung hat die Beschleunigung −g.
Bestimme die Flugzeit aus der vertikalen Bewegung.
Setze diese Zeit in die horizontale Bewegung ein, um die Wurfweite zu bestimmen.

Kreisbewegung

Zentripetalbeschleunigung: a = v²/r = ω²·r
Zentripetalkraft: F = m·v²/r
Winkelgeschwindigkeit: ω = v/r = 2π/T
Ebene Kurve, Reibung: v_max = √(μ·g·r)

Arbeit und Energie

Kinetische Energie: E_k = ½mv²
Potenzielle Energie: E_p = mgh
Energiebilanz: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Reibungsarbeit: W = μ·N·d
Leistung: P = W/t

Impuls & Stöße

Impuls: p = m·v
Erhaltung: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Vollständig unelastisch: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Kraftstoß: J = F·Δt = m·Δv

Methode

Wähle eine positive Richtung und gib jeder Geschwindigkeit ihr Vorzeichen.
Schreibe den Gesamtimpuls vorher auf: Σm·v.
Beim vollständig unelastischen Stoß bewegen sich die Körper danach gemeinsam; beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten.
Setze den Impuls vorher gleich dem Impuls nachher und löse.

Federn & Pendel

Federpendel: T = 2π·√(m/k)
Fadenpendel: T = 2π·√(L/g)
Kreisfrequenz: ω = √(k/m) = 2π/T
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energie: E = ½·k·A²

Wellen, Schall & Optik

Wellengeschwindigkeit: v = fλ, T = 1/f
Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schallpegel: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Punktquelle: I = P/(4πr²)
Stehende Wellen: Saite oder offene Pfeife f_n = n·v/(2L); geschlossene Pfeife f_n = n·v/(4L), n ungerade
Doppler-Effekt: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Brechzahl: n = c/v, λ = λ₀/n
Snelliussches Brechungsgesetz: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Grenzwinkel: sin θ_c = n₂/n₁
Glasfaser: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Linsen und Spiegel: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doppelspalt: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Gitter: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Einzelspalt: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Methode

Erkenne die Art der Aufgabe: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel, stehende Welle, Doppler, Brechung, Linse oder Spiegel oder Interferenz.
Schreibe zuerst die Beziehung hin: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) oder n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Rechne die Einheiten um: nm, mm und cm in m, und prüfe, ob Winkel von der Normalen aus gemessen werden.
Prüfe Vorzeichen und Plausibilität: Ein virtuelles Bild hat dᵢ < 0, eine sich nähernde Quelle klingt höher, eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische.

2Übungsaufgaben

1.KinematikMittel

Ein Auto, das mit 100 km/h fährt, bremst mit einer konstanten Verzögerung von 6,5 m/s² bis zum Stillstand. Wie lange dauert das Bremsen? Bestimme t.

v₀ = 100 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikSchwer

Ein Ball wird von der Kante eines Dachs 35 m über dem Boden mit 18 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wie lange nach dem Abwurf trifft er auf den Boden? Bestimme t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Newtonsche GesetzeMittel

Eine Kiste gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 7 m/s über einen ebenen Boden und kommt nach 17 m zur Ruhe. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Gleitreibungskoeffizienten μ.

v₀ = 7 m/sd = 17 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Newtonsche GesetzeSchwer

Ein Block mit 3 kg auf einem waagerechten Tisch ist über eine leichte Schnur, die über eine reibungsfreie Rolle läuft, mit einer hängenden Masse von 4 kg verbunden. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Block und Tisch ist 0,2. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T in der Schnur.

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Schiefer WurfMittel

Ein Ball wird von ebenem Boden unter 40° zur Horizontalen abgeworfen und landet 25 m entfernt. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Abwurfgeschwindigkeit v₀.

θ = 40°R = 25 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Schiefer WurfSchwer

Ein Ball wird mit 31 m/s unter 20° zur Horizontalen von der Kante einer 45 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Höhe H über dem Boden am Fuß der Klippe.

v₀ = 31 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.KreisbewegungMittel

Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 55 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,3. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit v_max, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.

r = 55 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.KreisbewegungSchwer

Ein Wagen mit 1,5 kg wird in 6,6 m Höhe auf einer reibungsfreien Bahn aus der Ruhe losgelassen und durchfährt einen senkrechten Looping mit dem Radius 1,5 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Normalkraft N_top der Bahn auf den Wagen am höchsten Punkt des Loopings.

m = 1,5 kgh = 6,6 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Arbeit und EnergieMittel

Ein Block mit 2,5 kg rutscht 4 m eine Schräge mit 35° Neigung hinunter, bei einem Gleitreibungskoeffizienten von 0,3. Bestimme die gegen die Reibung verrichtete Arbeit W_f.

m = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,3d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Arbeit und EnergieSchwer

Ein Block mit 5 kg liegt auf einem rauen waagerechten Tisch (μ = 0,1). Ein leichter Faden läuft von ihm über eine glatte Rolle an der Tischkante zu einem hängenden Block mit 3 kg. Das System wird aus der Ruhe losgelassen. Bestimme die Geschwindigkeit v der Blöcke, nachdem der hängende Block 1,5 m gefallen ist.

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1d = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Impuls & StößeMittel

Ein Geschoss mit 15 g wird waagerecht in einen an leichten Schnüren hängenden Holzklotz mit 2 kg geschossen und bleibt darin stecken. Der Klotz schwingt hoch, bis er 21 cm höher ist als am Anfang. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.

m = 15 gM = 2 kgh = 21 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Impuls & StößeSchwer

Ein Geschoss mit 10 g wird waagerecht in einen Klotz mit 1,5 kg geschossen, der an leichten Schnüren von 0,8 m Länge hängt, und bleibt darin stecken. Die Schnüre schwingen bis zu einem größten Winkel von 25° gegen die Vertikale aus. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.

m = 10 gM = 1,5 kgL = 0,8 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Federn & PendelMittel

Ein Fadenpendel hat eine Länge von 2,1 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.

L = 2,1 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Federn & PendelSchwer

Eine Masse von 3,6 kg an einer Feder mit k = 240 N/m wird um 4 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit v_max.

m = 3,6 kgk = 240 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

15.Wellen, Schall & OptikMittel

Ein 1 cm hoher Gegenstand steht 25 cm vor einer dünnen sammelnden Linse mit einer Brennweite von 30 cm. Bestimme die Bildhöhe h_i (negativ bei einem umgekehrten Bild).

h_o = 1 cmd_o = 25 cmf = 30 cm

h_i = cm

16.Wellen, Schall & OptikSchwer

Ein Beugungsgitter hat 400 Linien pro Millimeter. Licht der Wellenlänge 550 nm fällt senkrecht darauf. Welche höchste Ordnung m_max eines hellen Maximums ist sichtbar?

N = 400 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3Lösungen

1.Kinematik

Antwort: t = 4,274 s

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.

Einheiten

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Bremszeit

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/6,5 = 4,274 s

Antwort

t = 4,274 s

2.Kinematik

Antwort: t = 5,076 s

Bewegungsgleichung

Nach oben ist positiv, und der Boden liegt h₀ unter dem Startpunkt.

−35 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 35 = 0

Quadratische Gleichung lösen

Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·35))/9,81 = 5,076 s

Antwort

t = 5,076 s

3.Newtonsche Gesetze

Antwort: μ = 0,1469

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Verzögerung

a = v₀²/(2d) = 7²/(2·17) = 1,441 m/s²

Reibungskoeffizient

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,441/9,81 = 0,1469

Antwort

μ = 0,1469

4.Newtonsche Gesetze

Antwort: T = 20,18 N

Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.

Beschleunigung des Systems

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 5,886)/7 = 4,765 m/s²

Seilkraft aus dem Block auf dem Tisch

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·4,765 + 5,886 = 20,18 N

Antwort

T = 20,18 N

5.Schiefer Wurf

Antwort: v₀ = 15,78 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Die Formel für die Wurfweite nach v₀ auflösen

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·25/sin 80°) = 15,78 m/s

Antwort

v₀ = 15,78 m/s

6.Schiefer Wurf

Antwort: H = 50,73 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Senkrechte Abwurfgeschwindigkeit

v_y = 31·sin 20° = 10,6 m/s

Anstieg über die Klippe

Δh = v_y²/(2g) = 10,6²/(2·9,81) = 5,73 m

Höhe über dem Boden

H = 45 + 5,73 = 50,73 m

Antwort

H = 50,73 m

7.Kreisbewegung

Antwort: v_max = 12,72 m/s

Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.

Die Reibung liefert die Zentripetalkraft

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·55) = 12,72 m/s

Antwort

v_max = 12,72 m/s (45,8 km/h)

8.Kreisbewegung

Antwort: N_top = 55,92 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Geschwindigkeit aus dem Energieerhaltungssatz

v² = 2·9,81·(6,6 − 2·1,5) = 70,63 m²/s²

Kräfte

Zum Mittelpunkt ist positiv.

N = m·v²/R − m·g = 1,5·70,63/1,5 − 14,71 = 55,92 N

Antwort

N_top = 55,92 N

9.Arbeit und Energie

Antwort: W_f = 24,11 J

Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).

Reibungskraft

N = mg·cos θ = 24,53·0,8192 = 20,09 N

F = μN = 0,3·20,09 = 6,027 N

Arbeit gegen Reibung

W_f = F·d = 6,027·4 = 24,11 J

Antwort

W_f = 24,11 J

10.Arbeit und Energie

Antwort: v = 3,033 m/s

Freigesetzte und verlorene Energie

m₂g·d = 29,43·1,5 = 44,14 J

μ·m₁g·d = 0,1·49,05·1,5 = 7,358 J

Kinetische Energie beider Blöcke

½(m₁ + m₂)v² = 36,79 → v = √(2·36,79/8) = 3,033 m/s

Antwort

v = 3,033 m/s

11.Impuls & Stöße

Antwort: v = 272,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Hochschwingen nach dem Aufprall

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,21) = 2,03 m/s

Stoß

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 2)·2,03/0,015 = 272,7 m/s

Antwort

v = 272,7 m/s

12.Impuls & Stöße

Antwort: v = 183,1 m/s

Anstieg des Klotzes

h = L·(1 − cos θ) = 0,8·(1 − cos 25°) = 0,07495 m

Geschwindigkeit nach dem Aufprall

V = √(2·9,81·0,07495) = 1,213 m/s

Stoß

v = (m + M)·V/m = 1,51·1,213/0,01 = 183,1 m/s

Antwort

v = 183,1 m/s

13.Federn & Pendel

Antwort: T = 2,907 s

Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².

Periodendauer des Pendels

T = 2π·√(2,1/9,81) = 2,907 s

Antwort

T = 2,907 s

14.Federn & Pendel

Antwort: v_max = 0,3266 m/s

Kreisfrequenz

ω = √(240/3,6) = 8,165 rad/s

Maximale Geschwindigkeit

v_max = A·ω = 0,04·8,165 = 0,3266 m/s

Antwort

v_max = 0,3266 m/s

15.Wellen, Schall & Optik

Antwort: h_i = 6 cm

Geometrische Optik: An einer Grenzfläche gilt n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden und n = c/v. Beim Übergang in ein langsameres Medium wird der Strahl zur Normalen hin gebrochen. Aus einem dichteren Medium (n₁ > n₂) wird jenseits des Grenzwinkels θ_c = arcsin(n₂/n₁) alles Licht reflektiert: Totalreflexion. Dünne Linsen und Kugelspiegel gehorchen 1/f = 1/d_o + 1/d_i mit dem Abbildungsmaßstab m = −d_i/d_o. Vorzeichenkonvention: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel; d_i > 0 für ein reelles Bild, d_i < 0 für ein virtuelles, und m < 0 für ein umgekehrtes Bild.

Linsengleichung für dünne Linsen

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/25

d_i = −150 cm

Abbildungsmaßstab und Höhe

m = −(−150)/25 = 6

h_i = 6·1 = 6 cm

Antwort

h_i = 6 cm

16.Wellen, Schall & Optik

Antwort: m_max = 4

Interferenz und Beugung: Licht aus zwei Spalten im Abstand d erreicht einen Punkt auf dem Schirm mit dem Gangunterschied d·sin θ. Helle Streifen erscheinen dort, wo d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Bei einem Schirm im Abstand L ≫ d liegt der m-te helle Streifen bei y = mλL/d, und der Streifenabstand ist Δy = λL/d. Ein Gitter mit N Linien pro Millimeter hat d = 1/N und scharfe Maxima bei d·sin θ = mλ; da sin θ ≤ 1, ist die höchste Ordnung die größte ganze Zahl m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Linienabstand

d = 1/400 mm = 2,5 µm

Höchste Ordnung

m ≤ d/λ = 2,5 µm/0,55 µm = 4,545 → m_max = 4

Antwort

m_max = 4

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