Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
- Coulombsches Gesetz
- F = k·|q1q2|/r²
- Feld einer Punktladung
- E = k·|q|/r²
- Konstante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Kraft auf eine Ladung
- F = q·E
Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Reihen- und Parallelschaltung
- Widerstände in Reihe
- Req = R1 + R2 + …
- Widerstände parallel
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Zwei parallel
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ohmsches Gesetz
- V = I·R
- Leistung
- P = V·I = I²R = V²/R
Methode
- Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
- Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
- Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
- Zeitkonstante
- τ = RC | τ = L/R
- Antwort
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensator bei Gleichstrom
- Leerlauf; vC kann nicht springen
- Spule bei Gleichstrom
- Kurzschluss; iL kann nicht springen
- Eingeschwungen
- t ≈ 5τ
Methode
- Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
- Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
- Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
- Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetfelder & Induktion
- Langer gerader Draht
- B = μ0I/(2πr)
- Mittelpunkt einer flachen Spule
- B = μ0NI/(2R)
- Lange Spule
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Kraft auf einen Draht
- F = BIL·sin θ
- Kraft auf eine Ladung
- F = |q|vB·sin θ
- Kreisbewegung
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Parallele Drähte
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluss
- Φ = BA·cos θ
- Faradaysches Induktionsgesetz
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Bewegter Stab
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktivität
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Gegeninduktivität
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Methode
- Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
- Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
- Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
- Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.
Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
- Impedanzen
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kreisfrequenz
- ω = 2πf
- Betrag und Winkel
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ohmsches Gesetz mit Zeigern
- V = I·Z
Methode
- Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
- Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
- Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
- Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.
2Übungsaufgaben
1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
Ladungen von +4 µC und +3 µC sind 30 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +4 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?
q1 = +4 µCq2 = +3 µCd = 30 cm
x = cm
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 10 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 4 µC ist 10 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 10 µC 3 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.
q1 = 4 µCq2 = 10 µCq3 = 10 µCr13 = 10 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
Bestimme den Strom IR2 durch R2.
V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.
V1 = 36 VR1 = 25 ΩR2 = 3 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 20 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme den Strom i bei t = 1 ms.
Vs = 12 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 5 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 25 ms.
Vs = 6 VR = 3,3 kΩC = 22 µFvC(0) = 5 Vt = 25 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
Eine Spule mit 250 Windungen, der Fläche 150 cm² und dem Widerstand 25 Ω bildet einen geschlossenen Stromkreis. Ein homogenes Feld senkrecht zur Spule steigt in 250 ms gleichmäßig von 0,2 T auf 0,8 T. Bestimme den mittleren induzierten Strom I.
N = 250A = 150 cm²B: 0,2 T → 0,8 TΔt = 250 msR = 25 Ω
I = mA
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Eine lange Luftspule hat 800 Windungen, eine Länge von 15 cm und einen Durchmesser von 5 cm. Bestimme ihre Selbstinduktivität L.
N = 800l = 15 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.
V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 22 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 10 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
f0 = Hz
3Lösungen
1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: x = 16,08 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Gleiche Felder
4/x² = 3/(30 − x)²
(30 − x)/x = √(3/4) = 0,866
Position
x = 30/(1 + 0,866) = 16,08 cm
Antwort
x = 16,08 cm
Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: F = 999,5 N
Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.
Einzelkräfte auf q₃
F1 = k·4·10 × 10⁻¹²/0,1² = 35,96 N
F2 = k·10·10 × 10⁻¹²/0,03² = 998,9 N
Vektorsumme
F = √(35,96² + 998,9²) = 999,5 N
Antwort
F = 999,5 N
3.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR2 = 0,7839 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 10 + 3 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 3·13/(3+13) = 2,438 Ω
Req = R1 + 2,438 = 10 + 2,438 = 12,44 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 12/12,44 = 0,9648 A
Strom durch R₂
Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,9648·10 = 2,352 V
IR2 = VA/R2 = 2,352/3 = 0,7839 A
Antwort
IR2 = 0,7839 A
4.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: Req = 27,8 Ω
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 20 + 6 = 26 Ω
R4 ∥ 26 = 11,3 Ω
R3 + 11,3 = 41,3 Ω
R2 ∥ 41,3 = 2,797 Ω
Req = R1 + 2,797 = 25 + 2,797 = 27,8 Ω
Antwort
Req = 27,8 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: i = 0,2252 A
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Zeitkonstante und Endstrom
Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.
τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0,4681 ms
i(∞) = Vs/R = 12/47 = 0,2553 A
Strom zum gegebenen Zeitpunkt
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,2553·(1 − e−1/0,4681) = 0,2252 A
Antwort
i = 0,2252 A
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: vC = 5,291 V
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante
Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.
vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 22 µF = 72,6 ms
vC(t) = 6 + (5 − 6)·e−t/τ
Spannung zum gegebenen Zeitpunkt
vC(25) = 6 + (−1)·e−25/72,6 = 5,291 V
Antwort
vC = 5,291 V
7.Magnetfelder & Induktion
Antwort: I = 360 mA
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Flussänderung pro Windung
ΔΦ = (0,8 − 0,2)·0,015 = 0,009 Wb
Mittlere Spannung
ε = NΔΦ/Δt = 250·0,009/0,25 = 9 V
Strom
I = ε/R = 9/25 = 0,36 A
Antwort
I = 360 mA
8.Magnetfelder & Induktion
Antwort: L = 10,53 mH
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Querschnitt
A = π·(0,025)² = 0,001963 m²
Selbstinduktivität
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0,001963/0,15 = 0,01053 H = 10,53 mH
Antwort
L = 10,53 mH
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: I = 0,6752 A
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstände
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω
Impedanz
In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (142,6)²) = 148,1 Ω
Strom
Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.
I = V/|Z| = 100/148,1 = 0,6752 A
Antwort
I = 0,6752 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: f0 = 479,9 Hz
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Resonanz
Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·2,2·10⁻⁶)) = 479,9 Hz
Antwort
f0 = 479,9 Hz
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