Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++4 µC−−4 µCP60 cm

Eine Ladung von +4 µC und eine Ladung von −4 µC sind 60 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 30 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q1 = +4 µCq2 = −4 µCr1 = 30 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
5 cm3 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +8 µC+q2​ = +5 µC

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 8 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 6 µC ist 5 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 5 µC 3 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q1 = 6 µCq2 = 5 µCq3 = 8 µCr13 = 5 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAR4​6 ΩB

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​8 ΩBR6​15 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 18 VR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 ΩR5 = 20 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​9 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die in der Spule gespeicherte Energie W(∞), wenn sich die Schaltung eingeschwungen hat, in mJ.

Vs = 9 VR = 50 ΩL = 150 mH
W(∞) = mJ
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​5 Vt = 0R = ?C47 µF+−vC​

Ein Zeitglied beginnt bei t = 0, einen ungeladenen Kondensator über einen Widerstand aus einer 5-V-Versorgung zu laden. Es soll auslösen, wenn die Kondensatorspannung 4 V erreicht, genau 500 ms nach dem Start. Bestimme mit C = 47 µF den nötigen Widerstand R.

Vs = 5 VVth = 4 VT = 500 msC = 47 µF
R = kΩ
7.Magnetfelder & InduktionMittel
R = 2 Ωv = 10 m/sL = 50 cmB = 0,8 T

Ein 50 cm langer Metallstab gleitet mit 10 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,8 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Die Schienen sind durch einen Widerstand von 2 Ω verbunden; Stab und Schienen haben vernachlässigbaren Widerstand. Bestimme die im Widerstand umgesetzte Leistung P.

B = 0,8 TL = 50 cmv = 10 m/sR = 2 Ω
P = W
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
l = 50 cmN = 300, ⌀ 3 cm

Eine lange Luftspule hat 300 Windungen, eine Länge von 50 cm und einen Durchmesser von 3 cm. Bestimme ihre Selbstinduktivität L.

N = 300l = 50 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Vf0​ = 1000 HzRL = ?C = 0,1 µF

Ein RLC-Reihenschwingkreis mit C = 0,1 µF soll bei 1000 Hz in Resonanz sein. Bestimme die nötige Induktivität L.

f0 = 1000 HzC = 0,1 µF
L = mH
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
230 V500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF
f0 = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 799111 N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,3² = 399556 N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0,3² = 399556 N/C

Richtungen und Summe

Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.

E = |399556 + 399556| = 799111 N/C

Antwort

E = 799111 N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 435,2 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F1 = k·6·8 × 10⁻¹²/0,05² = 172,6 N
F2 = k·5·8 × 10⁻¹²/0,03² = 399,6 N

Vektorsumme

F = √(172,6² + 399,6²) = 435,2 N

Antwort

F = 435,2 N
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 8 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 3 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAR4​6 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 4 + 6 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Req = R1 + 5 = 3 + 5 = 8 Ω

Antwort

Req = 8 Ω
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 28,94 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 25 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​8 ΩBR6​15 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 20 + 15 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 6,512 Ω
R3 + 6,512 = 18,51 Ω
R2 ∥ 18,51 = 3,937 Ω
Req = R1 + 3,937 = 25 + 3,937 = 28,94 Ω

Antwort

Req = 28,94 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: W(∞) = 2,43 mJ

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 9/50 = 0,18 A

Gespeicherte Energie

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·0,18² = 2,43 mJ

Antwort

W(∞) = 2,43 mJ
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: R = 6,61 kΩ

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Erforderliche Zeitkonstante

4 = 5·(1 − e−500/τ) → τ = 500/ln(5/(5 − 4))
τ = 500/1,609 = 310,7 ms

Widerstand

kΩ mal µF ergibt Millisekunden.

R = τ/C = 310,7/47 = 6,61 kΩ

Antwort

R = 6,61 kΩ
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: P = 8 W

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,8·0,5·10 = 4 V

Strom

I = ε/R = 4/2 = 2 A

Leistung

P = εI = 4·2 = 8 W

Antwort

P = 8 W
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: L = 159,9 µH

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Querschnitt

A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·0,0007069/0,5 = 0,0001599 H = 159,9 µH

Antwort

L = 159,9 µH
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: L = 253,3 mH

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzbedingung

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(6283²·0,1·10⁻⁶) = 253,3 mH

Antwort

L = 253,3 mH
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: f0 = 112,5 Hz

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanz

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·100·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Antwort

f0 = 112,5 Hz

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