Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
−−3 µC−−5 µCr = 15 cm

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von −3 µC und −5 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 15 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −3 µCq2 = −5 µCr = 15 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
+−P2 × 5 cm4 cm+2 µC−2 µC

Ladungen von +2 µC und −2 µC sind 10 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 4 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = −2 µCd = 10 cmh = 4 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩIR2​AR4​4 ΩB

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​25 ΩBR6​5 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 25 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 ΩL150 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme den Strom i bei t = 25 ms.

Vs = 12 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 25 ms
i = A
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​12 Vt = 0R = 3,3 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 10 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 11,4 V erreicht? Bestimme t.

Vs = 12 VR = 3,3 kΩC = 10 µFvC(0) = 10 V
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
nBA = 10 cm², N = 10B: 0 → 0,6 T

Eine Spule mit 10 Windungen hat die Fläche 10 cm². Ein homogenes Feld senkrecht zur Spule steigt in 50 ms gleichmäßig von 0 T auf 0,6 T. Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.

N = 10A = 10 cm²B: 0 T → 0,6 TΔt = 50 ms
ε = mV
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Bn = 3000 rpm15 cm × 20 cmN = 50B = 0,1 T

Eine Spule mit 50 Windungen, 15 cm × 20 cm, rotiert mit 3000 U/min in einem homogenen Feld von 0,1 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Bestimme die Scheitelspannung E0.

N = 50A = 15 cm × 20 cmB = 0,1 Tn = 3000 rpm
E0 = V
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Vf0​ = 1000 HzRL = 20 mHC = ?

Ein RLC-Reihenschwingkreis mit L = 20 mH soll bei 1000 Hz in Resonanz sein. Bestimme die nötige Kapazität C.

f0 = 1000 HzL = 20 mH
C = µF
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
100 V1000 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF+−VC​

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 1000 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung VC am Kondensator.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
VC = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 6,393 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (−3 + −5)/2 = −4 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(4 × 10⁻⁶)²/0,15² = 6,393 N

Antwort

F = 6,393 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 6,849 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(5² + 4²) = 6,403 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,06403² = 4,385 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Mittelsenkrechten heben sich auf.

E = 2·E1·(a/r) = 2·4,385 × 10⁶·0,7809 = 6,849 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 6,849 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt parallel zur Verbindungslinie von der positiven zur negativen Ladung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,7229 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​4 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 4 + 4 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω
Req = R1 + 1,6 = 15 + 1,6 = 16,6 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 15/16,6 = 0,9036 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0,9036·15 = 1,446 V
IR2 = VA/R2 = 1,446/2 = 0,7229 A

Antwort

IR2 = 0,7229 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 9,251 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​25 ΩBR6​5 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 9,375 Ω
R3 + 9,375 = 11,38 Ω
R2 ∥ 11,38 = 7,251 Ω
Req = R1 + 7,251 = 2 + 7,251 = 9,251 Ω

Antwort

Req = 9,251 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,9733 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms
i(∞) = Vs/R = 12/10 = 1,2 A

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1,2·(1 − e−25/15) = 0,9733 A

Antwort

i = 0,9733 A
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 39,73 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 12 + (10 − 12)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

11,4 = 12 + (−2)·e−t/τ → e−t/τ = (11,4 − 12)/(10 − 12) = 0,3
t = τ·ln((10 − 12)/(11,4 − 12)) = 33·ln(3,333) = 39,73 ms

Antwort

t = 39,73 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 120 mV

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = (0,6 − 0)·0,001 = 0,0006 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0006/0,05 = 0,12 V

Antwort

ε = 120 mV
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: E0 = 47,12 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Winkelgeschwindigkeit und Fläche

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
A = 0,03 m²

Scheitelspannung

E₀ = NBAω = 50·0,1·0,03·314,2 = 47,12 V

Antwort

E0 = 47,12 V
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: C = 1,267 µF

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzbedingung

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,02) = 1,267 µF

Antwort

C = 1,267 µF
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: VC = 127 V

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (53,32)²) = 56,95 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 100/56,95 = 1,756 A

Spannung am Kondensator

VC = I·XC = 1,756·72,34 = 127 V

Antwort

VC = 127 V

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