Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
−−1 µC++1 µC−−4 µC18 cm + 12 cm

Drei Punktladungen liegen auf einer Geraden: −1 µC links, −4 µC rechts im Abstand 30 cm und +1 µC dazwischen, 18 cm von der linken Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf die mittlere Ladung. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −1 µCqR = −4 µCqM = +1 µCrL = 18 cmrR = 12 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
4 cm5 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +5 µC

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 5 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 6 µC ist 4 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 5 µC 5 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q1 = 6 µCq2 = 5 µCq3 = 5 µCr13 = 4 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​6 ΩB

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 2 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAR4​15 ΩBR6​30 Ω

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 ΩR5 = 4 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​9 Vt = 0R = 100 ΩL47 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 90 % seines Endwerts? Bestimme t.

Vs = 9 VR = 100 ΩL = 47 mH
t = ms
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​10 Vt = 0R = 4,7 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 3 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 50 ms.

Vs = 10 VR = 4,7 kΩC = 33 µFvC(0) = 3 Vt = 50 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
dB/dt < 0I = ?

Eine kreisförmige Schleife liegt in einem homogenen Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Die Feldstärke nimmt ab. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen.

B: aus der Blattebene herausdB/dt < 0
  1. 1im Uhrzeigersinn
  2. 2gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
I = 0,5 Al = 20 cmN = 1000, ⌀ 1 cm

Eine lange Luftspule hat 1000 Windungen, eine Länge von 20 cm und einen Durchmesser von 1 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 0,5 A führt.

N = 1000l = 20 cm⌀ = 1 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
50 V200 HzR = 50 ΩL = 150 mHI

Ein Widerstand und eine Spule liegen parallel an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 150 mH
|Z| = Ω
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
10 V100 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 47 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 10 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 47 µF
f0 = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 2,22 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kraft von jeder Ladung

Rechts ist positiv.

FL = −k·1·1 × 10⁻¹²/0,18² = −0,2775 N
FR = +k·4·1 × 10⁻¹²/0,12² = 2,497 N

Resultierende Kraft

F = −0,2775 + (2,497) = 2,22 N → |F| = 2,22 N

Antwort

F = 2,22 N

Die resultierende Kraft zeigt nach rechts.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 191 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F1 = k·6·5 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N
F2 = k·5·5 × 10⁻¹²/0,05² = 89,9 N

Vektorsumme

F = √(168,6² + 89,9²) = 191 N

Antwort

F = 191 N
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 6,2 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAR4​6 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 4·16/(4+16) = 3,2 Ω
Req = R1 + 3,2 = 3 + 3,2 = 6,2 Ω

Antwort

Req = 6,2 Ω
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 1,139 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAR4​15 ΩBR6​30 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 4 + 30 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 10,41 Ω
R3 + 10,41 = 12,41 Ω
R2 ∥ 12,41 = 5,537 Ω
Req = R1 + 5,537 = 5 + 5,537 = 10,54 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 12/10,54 = 1,139 A

Antwort

IR1 = 1,139 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 1,082 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0,47 ms
i(∞) = Vs/R = 9/100 = 0,09 A

Nach der Zeit auflösen

0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −0,47·ln(0,1) = 1,082 ms

Antwort

t = 1,082 ms
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 4,929 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms
vC(t) = 10 + (3 − 10)·e−t/τ

Spannung zum gegebenen Zeitpunkt

vC(50) = 10 + (−7)·e−50/155,1 = 4,929 V

Antwort

vC = 4,929 V
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: gegen den Uhrzeigersinn

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung

Der Fluss in die Blattebene hinein nimmt zu, oder der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt ab.

Feld des induzierten Stroms

Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.

Induziertes Feld im Inneren der Schleife: aus der Blattebene heraus.

Richtung des Stroms

Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.

gegen den Uhrzeigersinn

Antwort

gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: W = 61,69 µJ

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 493,5 µH

Gespeicherte Energie

W = ½LI² = ½·0,0004935·0,5² = 6,169 × 10⁻⁵ J = 61,69 µJ

Antwort

W = 61,69 µJ
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 48,33 Ω

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XL = ωL = 2π·200·0,15 = 188,5 Ω

Zweigströme

Beide Zweige liegen direkt an der Versorgung, jeder sieht also die volle Spannung V.

IR = V/R = 50/50 = 1 A
IX = V/XL = 50/188,5 = 0,2653 A

Gesamtstrom

Der Strom im Widerstand ist in Phase mit V, der Blindstrom um 90° verschoben, sie addieren sich also wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

I = √(IR² + IX²) = √(1² + 0,2653²) = 1,035 A

Impedanz

|Z| = V/I = 50/1,035 = 48,33 Ω

Antwort

|Z| = 48,33 Ω
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: f0 = 59,94 Hz

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanz

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·47·10⁻⁶)) = 59,94 Hz

Antwort

f0 = 59,94 Hz

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