Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Eine Ladung von +4 µC und eine Ladung von +6 µC sind 40 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 30 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q₁ = +4 µCq₂ = +6 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 10 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 3 µC ist 6 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 3 µC 10 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 3 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 80 % seines Endwerts? Bestimme t.

V_s = 12 VR = 22 ΩL = 68 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter parallel zu R₂ ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 20 ms.

V_s = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩL = 100 mHt = 20 ms

i = A

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein Proton tritt mit 5 × 10⁶ m/s senkrecht in ein homogenes Magnetfeld ein und bewegt sich auf einem Kreis mit dem Radius 20,89 cm. Bestimme die magnetische Flussdichte B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sr = 20,89 cm

B = T

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Der Strom in einer 50-mH-Induktivität ändert sich in 1 ms gleichmäßig von 1 A auf 0 A. Bestimme den Betrag der Selbstinduktionsspannung ε.

L = 50 mH1 A → 0 AΔt = 1 ms

ε = V

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 12 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme die aus der Versorgung aufgenommene Wirkleistung P.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 22 µF

P = W

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis wird von einer Quelle mit 24 V (Effektivwert) gespeist, deren Frequenz auf die Resonanzfrequenz der Schaltung eingestellt ist. Bestimme die Effektivspannung V_L an der Spule.

V = 24 V (rms)R = 50 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 4,994 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,3² = 399556 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,1² = 5,394 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Beide Ladungen sind positiv: In P zeigen ihre Felder jeweils von ihrer Ladung weg, also in entgegengesetzte Richtungen.

E = |399556 − 5,394 × 10⁶| = 4,994 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 4,994 × 10⁶ N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 79,62 N

Einzelkräfte auf q₃

F₁ = k·3·10 × 10⁻¹²/0,06² = 74,92 N

F₂ = k·3·10 × 10⁻¹²/0,1² = 26,97 N

Vektorsumme

F = √(74,92² + 26,97²) = 79,62 N

Antwort

F = 79,62 N

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,3988 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 8 + 15 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 12·23/(12+23) = 7,886 Ω

R_eq = R₁ + 7,886 = 2 + 7,886 = 9,886 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/9,886 = 0,6069 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,6069·2 = 4,786 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,786/12 = 0,3988 A

Antwort

I_R2 = 0,3988 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 9,404 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 6,964 Ω

R₃ + 6,964 = 36,96 Ω

R₂ ∥ 36,96 = 4,404 Ω

R_eq = R₁ + 4,404 = 5 + 4,404 = 9,404 Ω

Antwort

R_eq = 9,404 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 4,975 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms

i(∞) = V_s/R = 12/22 = 0,5455 A

Nach der Zeit auflösen

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −3,091·ln(0,2) = 4,975 ms

Antwort

t = 4,975 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 1,135 A

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 10/5 = 2 A

i(∞) = 10/(5 + 5) = 1 A

τ = L/R = 100/10 = 10 ms

i(t) = 1 + (2 − 1)·e^−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(20) = 1 + (1)·e^−20/10 = 1,135 A

Antwort

i = 1,135 A

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: B = 0,25 T

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Feld aus dem Radius

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,2089) = 0,25 T

Antwort

B = 0,25 T

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 50 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Selbstinduktionsspannung

Die Spannung wirkt der Stromänderung entgegen (Lenz), ihr Vorzeichen ist also dem von ΔI entgegengesetzt; der Betrag ist L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,05·1/0,001 = 50 V

Antwort

ε = 50 V

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: P = 0,8388 W

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

X_L = 62,83 Ω, X_C = 144,7 Ω

Impedanz

|Z| = √(60² + (−81,85)²) = 101,5 Ω

Wirkleistung

Spulen und Kondensatoren speichern Energie nur und geben sie zurück; der Widerstand nimmt die gesamte Wirkleistung auf.

I = 12/101,5 = 0,1182 A

P = I²·R = 0,1182²·60 = 0,8388 W

Antwort

P = 0,8388 W

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_L = 99,02 V

Resonanz

Bei Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf, die Impedanz ist also nur R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,47·10⁻⁶) = 10314 rad/s

I = V/R = 24/50 = 0,48 A

Spannung an der Spule

X_L = ω₀L = 10314·0,02 = 206,3 Ω

V_L = I·X_L = 0,48·206,3 = 99,02 V

Antwort

V_L = 99,02 V

Das ist das Q = 4,126-Fache der Versorgungsspannung.

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