Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++1 µC++6 µCE = 030 cm

Ladungen von +1 µC und +6 µC sind 30 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +1 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q1 = +1 µCq2 = +6 µCd = 30 cm
x = cm
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
L = 20 cm5°qq

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 2 g hängen an isolierenden Fäden von 20 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 5° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 20 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​5 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​2 ΩBR6​15 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 2 ΩR5 = 15 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
R = 33 Ωt = 0L10 mHi(t)

Die Spule führt einen konstanten Strom von 1 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Bestimme den Strom i bei t = 1 ms.

i(0) = 1 AR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​30 Vöffnet bei t = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 10 kΩC22 µF+−vC​

Der Schalter ist seit Langem geschlossen, die Schaltung ist also im eingeschwungenen Zustand. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 400 ms.

Vs = 30 VR1 = 10 kΩR2 = 10 kΩC = 22 µFt = 400 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
R = 2,5 Ωv = 5 m/sL = 80 cmB = 0,4 T

Ein 80 cm langer Metallstab gleitet mit 5 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,4 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Die Schienen sind durch einen Widerstand von 2,5 Ω verbunden; Stab und Schienen haben vernachlässigbaren Widerstand. Bestimme die im Widerstand umgesetzte Leistung P.

B = 0,4 TL = 80 cmv = 5 m/sR = 2,5 Ω
P = W
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
N1​ = 2000, l = 30 cmN2​ = 100M = ?

Eine kurze Spule mit 100 Windungen ist dicht um die Mitte einer langen Spule mit 2000 Windungen, der Länge 30 cm und dem Durchmesser 4 cm gewickelt. Bestimme ihre Gegeninduktivität M.

N1 = 2000N2 = 100l = 30 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
M = mH
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
230 V500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
50 V50 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
f0 = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 8,697 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

1/x² = 6/(30 − x)²
(30 − x)/x = √(6/1) = 2,449

Position

x = 30/(1 + 2,449) = 8,697 cm

Antwort

x = 8,697 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 15,23 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 5° = 0,001717 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 5° = 0,03486 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,03486·√(0,001717/8,99 × 10⁹) = 1,523 × 10⁻⁸ C = 15,23 nC

Antwort

q = 15,23 nC
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,729 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​5 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 6 + 5 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 15·11/(15+11) = 6,346 Ω
Req = R1 + 6,346 = 6 + 6,346 = 12,35 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 9/12,35 = 0,729 A

Antwort

IR1 = 0,729 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 7,858 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​2 ΩBR6​15 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 15 + 15 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 1,875 Ω
R3 + 1,875 = 21,88 Ω
R2 ∥ 21,88 = 5,858 Ω
Req = R1 + 5,858 = 2 + 5,858 = 7,858 Ω

Antwort

Req = 7,858 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,03688 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms

Abklingen des Stroms

i(t) = 1·e−1/0,303 = 0,03688 A

Antwort

i = 0,03688 A
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 2,435 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangsspannung des Kondensators

Im eingeschwungenen Zustand ist der Kondensator ein Leerlauf, R₁ und R₂ bilden also einen Spannungsteiler. Die Kondensatorspannung kann beim Öffnen des Schalters nicht springen.

vC(0) = 30·10/(10 + 10) = 15 V

Zeitkonstante nach dem Öffnen des Schalters

τ = R2·C = 10·22 = 220 ms

Entladung

vC(t) = 15·e−400/220 = 2,435 V

Antwort

vC = 2,435 V
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: P = 1,024 W

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,4·0,8·5 = 1,6 V

Strom

I = ε/R = 1,6/2,5 = 0,64 A

Leistung

P = εI = 1,6·0,64 = 1,024 W

Antwort

P = 1,024 W
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: M = 1,053 mH

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Gegeninduktivität

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·100·0,001257/0,3 = 1,053 mH

Antwort

M = 1,053 mH
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = 78,53 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (246,4)²) = 251,5 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(246,4/50) = 78,53°

Antwort

φ = 78,53°
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: f0 = 164,2 Hz

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanz

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·4,7·10⁻⁶)) = 164,2 Hz

Antwort

f0 = 164,2 Hz

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