Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++5 µC++3 µCr = 5 cm

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von +5 µC und +3 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 5 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +5 µCq2 = +3 µCr = 5 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
10 cm10 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +10 µC+q2​ = +1 µC

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 10 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 10 µC ist 10 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 1 µC 10 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q1 = 10 µCq2 = 1 µCq3 = 10 µCr13 = 10 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​12 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​12 Ω

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 2 ΩR5 = 3 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 ΩL150 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung vL an der Spule bei t = 30 ms.

Vs = 15 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 30 ms
vL = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​9 Vt = 0R = 47 kΩC?+−vC​

Ein Zeitglied beginnt bei t = 0, einen ungeladenen Kondensator über einen Widerstand aus einer 9-V-Versorgung zu laden. Es soll auslösen, wenn die Kondensatorspannung 6,75 V erreicht, genau 20 ms nach dem Start. Bestimme mit R = 47 kΩ die nötige Kapazität C.

Vs = 9 VVth = 6,75 VT = 20 msR = 47 kΩ
C = µF
7.Magnetfelder & InduktionMittel
vI = ?

Eine quadratische Schleife bewegt sich nach rechts in einen Bereich mit einem homogenen Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen, während die Schleife in das Feld eintritt.

B: aus der Blattebene herausbeim Eintritt in das Feld
  1. 1im Uhrzeigersinn
  2. 2gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Bn = ?20 cm × 5 cmN = 500B = 0,4 T

Eine Spule mit 500 Windungen, 20 cm × 5 cm, rotiert in einem homogenen Feld von 0,4 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Mit welcher Drehzahl n (in Umdrehungen pro Minute) muss sie sich drehen, um eine Effektivspannung von 222,1 V zu liefern?

N = 500A = 20 cm × 5 cmB = 0,4 TErms = 222,1 V
n = rpm
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
12 V500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 1 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 12 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 1 µF
φ = °
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
24 V60 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 150 ΩC = 22 µFI

Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR1 = 40 ΩR2 = 150 ΩC = 22 µF
I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 57,54 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (5 + 3)/2 = 4 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(4 × 10⁻⁶)²/0,05² = 57,54 N

Antwort

F = 57,54 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 90,35 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F1 = k·10·10 × 10⁻¹²/0,1² = 89,9 N
F2 = k·1·10 × 10⁻¹²/0,1² = 8,99 N

Vektorsumme

F = √(89,9² + 8,99²) = 90,35 N

Antwort

F = 90,35 N
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,6964 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​12 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 12 + 12 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 15·24/(15+24) = 9,231 Ω
Req = R1 + 9,231 = 8 + 9,231 = 17,23 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 12/17,23 = 0,6964 A

Antwort

IR1 = 0,6964 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 4,793 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 3 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​2 ΩBR6​12 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 3 + 12 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 1,765 Ω
R3 + 1,765 = 4,765 Ω
R2 ∥ 4,765 = 1,409 Ω
Req = R1 + 1,409 = 3 + 1,409 = 4,409 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 30/4,409 = 6,805 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 6,805·3 = 9,586 V
IR2 = VA/R2 = 9,586/2 = 4,793 A

Antwort

IR2 = 4,793 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vL = 2,03 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms
i(∞) = Vs/R = 15/10 = 1,5 A

Spulenspannung

Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−30/15 = 2,03 V

Antwort

vL = 2,03 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: C = 0,307 µF

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Erforderliche Zeitkonstante

6,75 = 9·(1 − e−20/τ) → τ = 20/ln(9/(9 − 6,75))
τ = 20/1,386 = 14,43 ms

Kapazität

kΩ mal µF ergibt Millisekunden.

C = τ/R = 14,43/47 = 0,307 µF

Antwort

C = 0,307 µF
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: im Uhrzeigersinn

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung

Der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt zu, oder der Fluss in die Blattebene hinein nimmt ab.

Feld des induzierten Stroms

Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.

Induziertes Feld im Inneren der Schleife: in die Blattebene hinein.

Richtung des Stroms

Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.

im Uhrzeigersinn

Antwort

im Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: n = 1500 rpm

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Scheitelspannung

E₀ = √2·Erms = 314,1 V

Winkelgeschwindigkeit

ω = E₀/(NBA) = 314,1/(500·0,4·0,01) = 157 rad/s

Umdrehungen pro Minute

n = 60·157/(2π) = 1500 rpm

Antwort

n = 1500 rpm
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = −3,957 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−4,151)²) = 60,14 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−4,151/60) = −3,957°

Antwort

φ = −3,957°
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,195 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 58,88 − j73,25 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 40 + 58,88 − j73,25 = 98,88 − j73,25 Ω
|Z| = √(98,88² + 73,25²) = 123,1 Ω

Strom

I = V/|Z| = 24/123,1 = 0,195 A

Antwort

I = 0,195 A

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