Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Ladungen von +2 µC und +6 µC sind 10 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +2 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q₁ = +2 µCq₂ = +6 µCd = 10 cm

x = cm

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 10 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 8 µC ist 4 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 10 µC 8 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 10 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt einen konstanten Strom von 3 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Wie lange dauert es, bis der Strom auf 0,6 A gefallen ist? Bestimme t.

i(0) = 3 AR = 15 ΩL = 10 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 4 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 15,2 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 20 VR = 2,2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein Draht führt einen Strom nach rechts durch ein homogenes Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Klicke die Richtung der magnetischen Kraft auf den Draht an.

I: nach rechtsB: aus der Blattebene heraus

1auf der Seite nach oben
2nach rechts
3auf der Seite nach unten
4nach links

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Ein Alphateilchen passiert einen Geschwindigkeitsfilter mit gekreuzten Feldern E = 1 × 10⁴ V/m und B₁ = 0,1 T unabgelenkt. Dann tritt es senkrecht in einen zweiten Bereich ein, in dem nur ein Magnetfeld B₂ = 0,4 T herrscht. Bestimme den Radius r seiner Bahn dort.

E = 1 × 10⁴ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 0,4 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 12 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein Widerstand R₁ liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R₂ und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 30 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 3,66 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

2/x² = 6/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(6/2) = 1,732

Position

x = 10/(1 + 1,732) = 3,66 cm

Antwort

x = 3,66 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 470,9 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F₁ = k·8·10 × 10⁻¹²/0,04² = 449,5 N

F₂ = k·10·10 × 10⁻¹²/0,08² = 140,5 N

Vektorsumme

F = √(449,5² + 140,5²) = 470,9 N

Antwort

F = 470,9 N

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 5,545 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 2 + 5 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 4·7/(4+7) = 2,545 Ω

R_eq = R₁ + 2,545 = 3 + 2,545 = 5,545 Ω

Antwort

R_eq = 5,545 Ω

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 27,51 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 5,091 Ω

R₃ + 5,091 = 20,09 Ω

R₂ ∥ 20,09 = 7,513 Ω

R_eq = R₁ + 7,513 = 20 + 7,513 = 27,51 Ω

Antwort

R_eq = 27,51 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 1,073 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

Nach der Zeit auflösen

0,6 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/0,6)

t = 0,6667·ln(5) = 1,073 ms

Antwort

t = 1,073 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 264,9 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 20 + (4 − 20)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

15,2 = 20 + (−16)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,2 − 20)/(4 − 20) = 0,3

t = τ·ln((4 − 20)/(15,2 − 20)) = 220·ln(3,333) = 264,9 ms

Antwort

t = 264,9 ms

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: auf der Seite nach unten

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Rechte-Hand-Regel

Zeige mit den Fingern entlang des Stroms oder der Geschwindigkeit und krümme sie zu B hin; der Daumen gibt die Kraft auf eine positive Ladung an.

I: nach rechts, B: aus der Blattebene heraus

Richtung der Kraft

auf der Seite nach unten

Antwort

F: auf der Seite nach unten

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 0,5185 cm

Ausgewählte Geschwindigkeit

Unabgelenkt: Die elektrische Kraft qE hält der magnetischen Kraft qvB das Gleichgewicht.

v = E/B₁ = 1 × 10⁴/0,1 = 100000 m/s

Radius im zweiten Feld

r = mv/(|q|B₂) = 0,005185 m = 0,5185 cm

Antwort

r = 0,5185 cm

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,0367 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−326,1)²) = 327 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 12/327 = 0,0367 A

Antwort

I = 0,0367 A

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 59,62 Ω

Blindwiderstand

X_C = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Z_p in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 17,77 − j14,74 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 40 + 17,77 − j14,74 = 57,77 − j14,74 Ω

|Z| = √(57,77² + 14,74²) = 59,62 Ω

Antwort

|Z| = 59,62 Ω

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