Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von −1 µC und +4 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 15 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −1 µCq₂ = +4 µCr = 15 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ein Elektron tritt mit 2,5 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 4 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 2200 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.

v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 2200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung v_L an der Spule bei t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Ein Zeitglied beginnt bei t = 0, einen ungeladenen Kondensator über einen Widerstand aus einer 15-V-Versorgung zu laden. Es soll auslösen, wenn die Kondensatorspannung 13,5 V erreicht, genau 20 ms nach dem Start. Bestimme mit C = 10 µF den nötigen Widerstand R.

V_s = 15 VV_th = 13,5 VT = 20 msC = 10 µF

R = kΩ

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine kreisförmige Schleife liegt in einem homogenen Magnetfeld, das in die Blattebene hinein zeigt. Die Feldstärke nimmt zu. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen.

B: in die Blattebene hineindB/dt > 0

1im Uhrzeigersinn
2gegen den Uhrzeigersinn

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine lange Luftspule hat 100 Windungen, eine Länge von 40 cm und einen Durchmesser von 5 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 2 A führt.

N = 100l = 40 cm⌀ = 5 cmI = 2 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Leistungsfaktor cos φ der Schaltung.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

cos φ =

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (−1 + 4)/2 = 1,5 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,899 N

Antwort

F = 0,899 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: y = 0,4952 mm

Zeit zwischen den Platten

t = L/v₀ = 0,04/2,5 × 10⁷ = 1,6 × 10⁻⁹ s

Seitliche Beschleunigung

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2200/9,109 × 10⁻³¹ = 3,869 × 10¹⁴ m/s²

Durchbiegung

y = ½·a·t² = ½·3,869 × 10¹⁴·(1,6 × 10⁻⁹)² = 0,0004952 m = 0,4952 mm

Antwort

y = 0,4952 mm

Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,9265 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 6 + 15 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 10·21/(10+21) = 6,774 Ω

R_eq = R₁ + 6,774 = 2 + 6,774 = 8,774 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,774 = 1,368 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,368·2 = 9,265 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,265/10 = 0,9265 A

Antwort

I_R2 = 0,9265 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 1,215 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 4 + 8 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 5,455 Ω

R₃ + 5,455 = 13,45 Ω

R₂ ∥ 13,45 = 6,343 Ω

R_eq = R₁ + 6,343 = 6 + 6,343 = 12,34 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,34 = 1,215 A

Antwort

I_R1 = 1,215 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_L = 4,509 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1,447 ms

i(∞) = V_s/R = 9/47 = 0,1915 A

Spulenspannung

Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−1/1,447 = 4,509 V

Antwort

v_L = 4,509 V

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: R = 0,8686 kΩ

Erforderliche Zeitkonstante

13,5 = 15·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(15/(15 − 13,5))

τ = 20/2,303 = 8,686 ms

Widerstand

kΩ mal µF ergibt Millisekunden.

R = τ/C = 8,686/10 = 0,8686 kΩ

Antwort

R = 0,8686 kΩ

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: gegen den Uhrzeigersinn

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung

Der Fluss in die Blattebene hinein nimmt zu, oder der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt ab.

Feld des induzierten Stroms

Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.

Induziertes Feld im Inneren der Schleife: aus der Blattebene heraus.

Richtung des Stroms

Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.

gegen den Uhrzeigersinn

Antwort

gegen den Uhrzeigersinn

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: W = 123,4 µJ

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 61,69 µH

Gespeicherte Energie

W = ½LI² = ½·6,169 × 10⁻⁵·2² = 0,0001234 J = 123,4 µJ

Antwort

W = 123,4 µJ

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: cos φ = 0,2586

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

X_L = 62,83 Ω, X_C = 361,7 Ω

Impedanz

|Z| = √(80² + (−298,9)²) = 309,4 Ω

Leistungsfaktor

cos φ = R/|Z| = 80/309,4 = 0,2586

Die Schaltung ist kapazitiv, der Leistungsfaktor ist also kapazitiv (voreilend).

Antwort

cos φ = 0,2586

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,1596 A

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (625,1)²) = 626,4 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 100/626,4 = 0,1596 A

Antwort

I = 0,1596 A

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