Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von +5 µC und −4 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 25 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −4 µCr = 25 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 8 g hängen an isolierenden Fäden von 100 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 10° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 100 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 50 % seines Endwerts? Bestimme t.

V_s = 20 VR = 15 ΩL = 47 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter parallel zu R₂ ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine Spule mit 250 Windungen hat die Fläche 80 cm². Ein homogenes Feld senkrecht zur Spule steigt in 500 ms gleichmäßig von 0 T auf 0,4 T. Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.

N = 250A = 80 cm²B: 0 T → 0,4 TΔt = 500 ms

ε = V

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine Spule mit 50 Windungen, 15 cm × 25 cm, rotiert in einem homogenen Feld von 0,05 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Mit welcher Drehzahl n (in Umdrehungen pro Minute) muss sie sich drehen, um eine Effektivspannung von 2,083 V zu liefern?

N = 50A = 15 cm × 25 cmB = 0,05 TE_rms = 2,083 V

n = rpm

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 22 µF

φ = °

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis wird von einer Quelle mit 1 V (Effektivwert) gespeist, deren Frequenz auf die Resonanzfrequenz der Schaltung eingestellt ist. Bestimme die Effektivspannung V_L an der Spule.

V = 1 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 0,03596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (5 + −4)/2 = 0,5 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,25² = 0,03596 N

Antwort

F = 0,03596 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 430,9 nC

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 10° = 0,01384 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 10° = 0,3473 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,3473·√(0,01384/8,99 × 10⁹) = 4,309 × 10⁻⁷ C = 430,9 nC

Antwort

q = 430,9 nC

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 14,8 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 6·24/(6+24) = 4,8 Ω

R_eq = R₁ + 4,8 = 10 + 4,8 = 14,8 Ω

Antwort

R_eq = 14,8 Ω

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,6166 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 6 + 12 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 8,182 Ω

R₃ + 8,182 = 12,18 Ω

R₂ ∥ 12,18 = 1,718 Ω

R_eq = R₁ + 1,718 = 15 + 1,718 = 16,72 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/16,72 = 0,7178 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,7178·15 = 1,233 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,233/2 = 0,6166 A

Antwort

I_R2 = 0,6166 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 2,172 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3,133 ms

i(∞) = V_s/R = 20/15 = 1,333 A

Nach der Zeit auflösen

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −3,133·ln(0,5) = 2,172 ms

Antwort

t = 2,172 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,5785 A

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 12/10 = 1,2 A

i(∞) = 12/(10 + 20) = 0,4 A

τ = L/R = 100/30 = 3,333 ms

i(t) = 0,4 + (1,2 − 0,4)·e^−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(5) = 0,4 + (0,8)·e^−5/3,333 = 0,5785 A

Antwort

i = 0,5785 A

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 1,6 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = (0,4 − 0)·0,008 = 0,0032 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,0032/0,5 = 1,6 V

Antwort

ε = 1,6 V

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: n = 300,1 rpm

Scheitelspannung

E₀ = √2·E_rms = 2,946 V

Winkelgeschwindigkeit

ω = E₀/(NBA) = 2,946/(50·0,05·0,0375) = 31,42 rad/s

Umdrehungen pro Minute

n = 60·31,42/(2π) = 300,1 rpm

Antwort

n = 300,1 rpm

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = −28,9 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−11,04)²) = 22,84 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−11,04/20) = −28,9°

Antwort

φ = −28,9°

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_L = 13,05 V

Resonanz

Bei Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf, die Impedanz ist also nur R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·0,47·10⁻⁶) = 3262 rad/s

I = V/R = 1/50 = 0,02 A

Spannung an der Spule

X_L = ω₀L = 3262·0,2 = 652,3 Ω

V_L = I·X_L = 0,02·652,3 = 13,05 V

Antwort

V_L = 13,05 V

Das ist das Q = 13,05-Fache der Versorgungsspannung.

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