Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++2 µC−−3 µCP30 cm

Eine Ladung von +2 µC und eine Ladung von −3 µC sind 30 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 15 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q1 = +2 µCq2 = −3 µCr1 = 15 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
L = 80 cm15°qq

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 8 g hängen an isolierenden Fäden von 80 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 15° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 80 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩIR2​AR4​6 ΩB

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 30 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​15 ΩBR6​15 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 18 VR1 = 30 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
R = 22 Ωt = 0L33 mHi(t)

Die Spule führt einen konstanten Strom von 3 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Bestimme die Spannung vR an R bei t = 2 ms.

i(0) = 3 AR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms
vR = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​15 Vt = 0R = 2,2 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 30 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 30 ms.

Vs = 15 VR = 2,2 kΩC = 10 µFvC(0) = 30 Vt = 30 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
+v = 8 × 10⁶ m/sr = 33,42 cmB = ?

Ein Proton tritt mit 8 × 10⁶ m/s senkrecht in ein homogenes Magnetfeld ein und bewegt sich auf einem Kreis mit dem Radius 33,42 cm. Bestimme die magnetische Flussdichte B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sr = 33,42 cm
B = T
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
E = 1 × 10⁵ V/m, B1​ = 0,5 T

In einem Geschwindigkeitsfilter lassen gekreuzte Felder E = 1 × 10⁵ V/m und B = 0,5 T nur Ionen einer Geschwindigkeit geradlinig passieren. Bestimme diese Geschwindigkeit v.

E = 1 × 10⁵ V/mB1 = 0,5 T
v = m/s
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
120 V200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 10 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 10 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
24 V1000 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 1000 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 22 µF
I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,998 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,15² = 799111 N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.

E = |799111 + 1,199 × 10⁶| = 1,998 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 1,998 × 10⁶ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 633,3 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 15° = 0,02103 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 15° = 0,4141 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,4141·√(0,02103/8,99 × 10⁹) = 6,333 × 10⁻⁷ C = 633,3 nC

Antwort

q = 633,3 nC
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 1,286 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​6 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 2·9/(2+9) = 1,636 Ω
Req = R1 + 1,636 = 6 + 1,636 = 7,636 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 12/7,636 = 1,571 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1,571·6 = 2,571 V
IR2 = VA/R2 = 2,571/2 = 1,286 A

Antwort

IR2 = 1,286 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 38,54 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 30 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​12 ΩAR4​15 ΩBR6​15 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 12 + 15 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 9,643 Ω
R3 + 9,643 = 29,64 Ω
R2 ∥ 29,64 = 8,542 Ω
Req = R1 + 8,542 = 30 + 8,542 = 38,54 Ω

Antwort

Req = 38,54 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vR = 17,4 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms

Abklingen des Stroms

i(t) = 3·e−2/1,5 = 0,7908 A
vR = R·i = 22·0,7908 = 17,4 V

Antwort

vR = 17,4 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 18,84 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 10 µF = 22 ms
vC(t) = 15 + (30 − 15)·e−t/τ

Spannung zum gegebenen Zeitpunkt

vC(30) = 15 + (15)·e−30/22 = 18,84 V

Antwort

vC = 18,84 V
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: B = 0,25 T

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Feld aus dem Radius

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·8 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,3342) = 0,25 T

Antwort

B = 0,25 T
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: v = 200000 m/s

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Ausgewählte Geschwindigkeit

Unabgelenkt: Die elektrische Kraft qE hält der magnetischen Kraft qvB das Gleichgewicht.

v = E/B1 = 1 × 10⁵/0,5 = 200000 m/s

Antwort

v = 200000 m/s
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 1,062 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (108,9)²) = 113 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 120/113 = 1,062 A

Antwort

I = 1,062 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,03815 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (621,1)²) = 629,1 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 24/629,1 = 0,03815 A

Antwort

I = 0,03815 A

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