Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Eine Ladung von +1 µC und eine Ladung von −10 µC sind 50 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 25 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q₁ = +1 µCq₂ = −10 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ladungen von +10 µC und −10 µC sind 20 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 8 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = −10 µCd = 20 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 50 % seines Endwerts? Bestimme t.

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 22 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter ist seit Langem geschlossen, die Schaltung ist also im eingeschwungenen Zustand. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Strom i₂ durch R₂ bei t = 15 ms.

V_s = 10 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 1 kΩC = 22 µFt = 15 ms

i₂ = mA

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein Alphateilchen bewegt sich mit 4 × 10⁶ m/s senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld von 1,5 T. Bestimme den Radius r seiner Kreisbahn.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 1,5 T

r = cm

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Ein Deuteron startet aus der Ruhe, wird durch eine Potenzialdifferenz von 2500 V beschleunigt und tritt dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld von 0,5 T ein. Bestimme den Radius r seiner Bahn im Feld.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,5 T

r = cm

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung V_C am Kondensator.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 22 µF

V_C = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,582 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,25² = 143840 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,25² = 1,438 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.

E = |143840 + 1,438 × 10⁶| = 1,582 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 1,582 × 10⁶ N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 8,561 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(10² + 8²) = 12,81 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,1281² = 5,482 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Mittelsenkrechten heben sich auf.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·5,482 × 10⁶·0,7809 = 8,561 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 8,561 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt parallel zur Verbindungslinie von der positiven zur negativen Ladung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,5202 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 15 + 12 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 5·27/(5+27) = 4,219 Ω

R_eq = R₁ + 4,219 = 12 + 4,219 = 16,22 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/16,22 = 0,6166 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,6166·12 = 2,601 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,601/5 = 0,5202 A

Antwort

I_R2 = 0,5202 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 1,577 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 15 + 12 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 3,484 Ω

R₃ + 3,484 = 23,48 Ω

R₂ ∥ 23,48 = 3,418 Ω

R_eq = R₁ + 3,418 = 2 + 3,418 = 5,418 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/5,418 = 1,846 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1,846·2 = 6,308 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,308/4 = 1,577 A

Antwort

I_R2 = 1,577 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 0,305 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0,44 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0,1 A

Nach der Zeit auflösen

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −0,44·ln(0,5) = 0,305 ms

Antwort

t = 0,305 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i₂ = 1,176 mA

Anfangsspannung des Kondensators

Im eingeschwungenen Zustand ist der Kondensator ein Leerlauf, R₁ und R₂ bilden also einen Spannungsteiler. Die Kondensatorspannung kann beim Öffnen des Schalters nicht springen.

v_C(0) = 10·1/(3,3 + 1) = 2,326 V

Zeitkonstante nach dem Öffnen des Schalters

τ = R₂·C = 1·22 = 22 ms

Entladung

v_C(t) = 2,326·e^−15/22 = 1,176 V

i₂ = v_C/R₂ = 1,176/1 = 1,176 mA

Antwort

i₂ = 1,176 mA

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 5,531 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kräftegleichgewicht

Die magnetische Kraft steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit, sie krümmt die Bahn also zu einem Kreis.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Radius

r = 6,645 × 10⁻²⁷·4 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·1,5) = 0,05531 m = 5,531 cm

Antwort

r = 5,531 cm

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 2,043 cm

Geschwindigkeit nach der Beschleunigung

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2500/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 489422 m/s

Radius im Feld

r = mv/(|q|B) = 0,02043 m = 2,043 cm

Antwort

r = 2,043 cm

Zusammengefasst: r = √(2mV/|q|)/B, schwerere Ionen gleicher Ladung bewegen sich also auf größeren Kreisen; so werden Isotope getrennt.

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,2906 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−161,2)²) = 172 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 50/172 = 0,2906 A

Antwort

I = 0,2906 A

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_C = 5,597 V

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (299,7)²) = 310,2 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 120/310,2 = 0,3869 A

Spannung am Kondensator

V_C = I·X_C = 0,3869·14,47 = 5,597 V

Antwort

V_C = 5,597 V

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