Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
- Coulombsches Gesetz
- F = k·|q1q2|/r²
- Feld einer Punktladung
- E = k·|q|/r²
- Konstante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Kraft auf eine Ladung
- F = q·E
Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Reihen- und Parallelschaltung
- Widerstände in Reihe
- Req = R1 + R2 + …
- Widerstände parallel
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Zwei parallel
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ohmsches Gesetz
- V = I·R
- Leistung
- P = V·I = I²R = V²/R
Methode
- Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
- Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
- Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
- Zeitkonstante
- τ = RC | τ = L/R
- Antwort
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensator bei Gleichstrom
- Leerlauf; vC kann nicht springen
- Spule bei Gleichstrom
- Kurzschluss; iL kann nicht springen
- Eingeschwungen
- t ≈ 5τ
Methode
- Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
- Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
- Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
- Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetfelder & Induktion
- Langer gerader Draht
- B = μ0I/(2πr)
- Mittelpunkt einer flachen Spule
- B = μ0NI/(2R)
- Lange Spule
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Kraft auf einen Draht
- F = BIL·sin θ
- Kraft auf eine Ladung
- F = |q|vB·sin θ
- Kreisbewegung
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Parallele Drähte
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluss
- Φ = BA·cos θ
- Faradaysches Induktionsgesetz
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Bewegter Stab
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktivität
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Gegeninduktivität
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Methode
- Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
- Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
- Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
- Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.
Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
- Impedanzen
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kreisfrequenz
- ω = 2πf
- Betrag und Winkel
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ohmsches Gesetz mit Zeigern
- V = I·Z
Methode
- Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
- Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
- Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
- Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.
2Übungsaufgaben
1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von −1 µC und +4 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 30 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −1 µCq2 = +4 µCr = 30 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 6 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 1 µC ist 8 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 8 µC 8 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.
q1 = 1 µCq2 = 8 µCq3 = 6 µCr13 = 8 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.
V1 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.
V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 30 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 ΩR5 = 5 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme den Strom i bei t = 1 ms.
Vs = 9 VR = 100 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
Der Schalter ist seit Langem geschlossen, die Schaltung ist also im eingeschwungenen Zustand. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Strom i2 durch R2 bei t = 500 ms.
Vs = 10 VR1 = 2,2 kΩR2 = 6,8 kΩC = 47 µFt = 500 ms
i2 = mA
7.Magnetfelder & InduktionMittel
Eine quadratische Schleife bewegt sich nach rechts in einen Bereich mit einem homogenen Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen, während die Schleife in das Feld eintritt.
B: aus der Blattebene herausbeim Eintritt in das Feld
- 1im Uhrzeigersinn
- 2gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Der Strom in einer 500-mH-Induktivität ändert sich in 2 ms gleichmäßig von 0 A auf 1,5 A. Bestimme den Betrag der Selbstinduktionsspannung ε.
L = 500 mH0 A → 1,5 AΔt = 2 ms
ε = V
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Ein Widerstand und ein Kondensator liegen parallel an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.
V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩC = 2,2 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR1 = 30 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
3Lösungen
1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: F = 0,2248 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Ladung nach dem Berühren
q′ = (−1 + 4)/2 = 1,5 µC
Neue Kraft
F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,3² = 0,2248 N
Antwort
F = 0,2248 N
Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: F = 67,95 N
Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.
Einzelkräfte auf q₃
F1 = k·1·6 × 10⁻¹²/0,08² = 8,428 N
F2 = k·8·6 × 10⁻¹²/0,08² = 67,42 N
Vektorsumme
F = √(8,428² + 67,42²) = 67,95 N
Antwort
F = 67,95 N
3.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 0,3608 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 5 + 6 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 8·11/(8+11) = 4,632 Ω
Req = R1 + 4,632 = 12 + 4,632 = 16,63 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 6/16,63 = 0,3608 A
Antwort
IR1 = 0,3608 A
4.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 0,7566 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 5 + 5 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 3,75 Ω
R3 + 3,75 = 5,75 Ω
R2 ∥ 5,75 = 4,825 Ω
Req = R1 + 4,825 = 15 + 4,825 = 19,83 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 15/19,83 = 0,7566 A
Antwort
IR1 = 0,7566 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: i = 0,09 A
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Zeitkonstante und Endstrom
Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.
τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0,1 ms
i(∞) = Vs/R = 9/100 = 0,09 A
Strom zum gegebenen Zeitpunkt
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,09·(1 − e−1/0,1) = 0,09 A
Antwort
i = 0,09 A
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: i2 = 0,2324 mA
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Anfangsspannung des Kondensators
Im eingeschwungenen Zustand ist der Kondensator ein Leerlauf, R₁ und R₂ bilden also einen Spannungsteiler. Die Kondensatorspannung kann beim Öffnen des Schalters nicht springen.
vC(0) = 10·6,8/(2,2 + 6,8) = 7,556 V
Zeitkonstante nach dem Öffnen des Schalters
τ = R2·C = 6,8·47 = 319,6 ms
Entladung
vC(t) = 7,556·e−500/319,6 = 1,581 V
i2 = vC/R2 = 1,581/6,8 = 0,2324 mA
Antwort
i2 = 0,2324 mA
7.Magnetfelder & Induktion
Antwort: im Uhrzeigersinn
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Flussänderung
Der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt zu, oder der Fluss in die Blattebene hinein nimmt ab.
Feld des induzierten Stroms
Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.
Induziertes Feld im Inneren der Schleife: in die Blattebene hinein.
Richtung des Stroms
Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.
im Uhrzeigersinn
Antwort
im Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & Induktion
Antwort: ε = 375 V
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Selbstinduktionsspannung
Die Spannung wirkt der Stromänderung entgegen (Lenz), ihr Vorzeichen ist also dem von ΔI entgegengesetzt; der Betrag ist L·|ΔI|/Δt.
ε = L·ΔI/Δt = 0,5·1,5/0,002 = 375 V
Antwort
ε = 375 V
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: I = 2,386 A
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstand
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω
Zweigströme
Beide Zweige liegen direkt an der Versorgung, jeder sieht also die volle Spannung V.
IR = V/R = 230/100 = 2,3 A
IX = V/XC = 230/361,7 = 0,6359 A
Gesamtstrom
Der Strom im Widerstand ist in Phase mit V, der Blindstrom um 90° verschoben, sie addieren sich also wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.
I = √(IR² + IX²) = √(2,3² + 0,6359²) = 2,386 A
Antwort
I = 2,386 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: |Z| = 53,1 Ω
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstand
XC = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω
Parallelschaltung
Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 15,99 − j26,53 Ω
Gesamtimpedanz
Z = 30 + 15,99 − j26,53 = 45,99 − j26,53 Ω
|Z| = √(45,99² + 26,53²) = 53,1 Ω
Antwort
|Z| = 53,1 Ω
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