Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Drei Punktladungen liegen auf einer Geraden: −3 µC links, −5 µC rechts im Abstand 10 cm und +5 µC dazwischen, 5 cm von der linken Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf die mittlere Ladung. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −3 µCq_R = −5 µCq_M = +5 µCr_L = 5 cmr_R = 5 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ein Elektron tritt mit 1,5 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 6 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 500 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.

v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt einen konstanten Strom von 3 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Bestimme die Spannung v_R an R bei t = 5 ms.

i(0) = 3 AR = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_R = V

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Ein Zeitglied beginnt bei t = 0, einen ungeladenen Kondensator über einen Widerstand aus einer 15-V-Versorgung zu laden. Es soll auslösen, wenn die Kondensatorspannung 9,48 V erreicht, genau 25 ms nach dem Start. Bestimme mit R = 2,2 kΩ die nötige Kapazität C.

V_s = 15 VV_th = 9,48 VT = 25 msR = 2,2 kΩ

C = µF

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine Spule mit 250 Windungen hat die Fläche 150 cm². Die Spule wird in einem homogenen Feld von 0,2 T, das senkrecht zu ihrer Ebene steht, in 200 ms umgedreht (um 180° gedreht). Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.

N = 250A = 150 cm²B = 0,2 TΔt = 200 ms

ε = V

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine Spule mit 500 Windungen, 20 cm × 25 cm, rotiert mit 1800 U/min in einem homogenen Feld von 0,05 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Bestimme den Effektivwert E_rms der Spannung.

N = 500A = 20 cm × 25 cmB = 0,05 Tn = 1800 rpm

E_rms = V

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Ein Widerstand und eine Spule liegen parallel an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 50 mH

I = A

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein Widerstand R₁ liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R₂ und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 60 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 35,96 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kraft von jeder Ladung

Rechts ist positiv.

F_L = −k·3·5 × 10⁻¹²/0,05² = −53,94 N

F_R = +k·5·5 × 10⁻¹²/0,05² = 89,9 N

Resultierende Kraft

F = −53,94 + (89,9) = 35,96 N → |F| = 35,96 N

Antwort

F = 35,96 N

Die resultierende Kraft zeigt nach rechts.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: y = 0,7035 mm

Zeit zwischen den Platten

t = L/v₀ = 0,06/1,5 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

Seitliche Beschleunigung

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·500/9,109 × 10⁻³¹ = 8,794 × 10¹³ m/s²

Durchbiegung

y = ½·a·t² = ½·8,794 × 10¹³·(4 × 10⁻⁹)² = 0,0007035 m = 0,7035 mm

Antwort

y = 0,7035 mm

Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,1481 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 10·19/(10+19) = 6,552 Ω

R_eq = R₁ + 6,552 = 20 + 6,552 = 26,55 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/26,55 = 0,226 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,226·20 = 1,481 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,481/10 = 0,1481 A

Antwort

I_R2 = 0,1481 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,182 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 3 + 3 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 3,75 Ω

R₃ + 3,75 = 13,75 Ω

R₂ ∥ 13,75 = 6,408 Ω

R_eq = R₁ + 6,408 = 20 + 6,408 = 26,41 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/26,41 = 0,3408 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,3408·20 = 2,184 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,184/12 = 0,182 A

Antwort

I_R2 = 0,182 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_R = 13,09 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms

Abklingen des Stroms

i(t) = 3·e^−5/3,091 = 0,5951 A

v_R = R·i = 22·0,5951 = 13,09 V

Antwort

v_R = 13,09 V

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: C = 11,37 µF

Erforderliche Zeitkonstante

9,48 = 15·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(15/(15 − 9,48))

τ = 25/0,9997 = 25,01 ms

Kapazität

kΩ mal µF ergibt Millisekunden.

C = τ/R = 25,01/2,2 = 11,37 µF

Antwort

C = 11,37 µF

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 7,5 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = 2·0,2·0,015 = 0,006 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,006/0,2 = 7,5 V

Antwort

ε = 7,5 V

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: E_rms = 166,6 V

Winkelgeschwindigkeit und Fläche

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,05 m²

Scheitelspannung

E₀ = NBAω = 500·0,05·0,05·188,5 = 235,6 V

Effektivwert

E_rms = 235,6/√2 = 166,6 V

Antwort

E_rms = 166,6 V

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 1,75 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

X_L = ωL = 2π·60·0,05 = 18,85 Ω

Zweigströme

Beide Zweige liegen direkt an der Versorgung, jeder sieht also die volle Spannung V.

I_R = V/R = 24/20 = 1,2 A

I_X = V/X_L = 24/18,85 = 1,273 A

Gesamtstrom

Der Strom im Widerstand ist in Phase mit V, der Blindstrom um 90° verschoben, sie addieren sich also wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,2² + 1,273²) = 1,75 A

Antwort

I = 1,75 A

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 103,4 Ω

Blindwiderstand

X_C = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Z_p in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 51,2 − j21,23 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 50 + 51,2 − j21,23 = 101,2 − j21,23 Ω

|Z| = √(101,2² + 21,23²) = 103,4 Ω

Antwort

|Z| = 103,4 Ω

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