Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++6 µC++8 µCP10 cm

Eine Ladung von +6 µC und eine Ladung von +8 µC sind 10 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 5 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q1 = +6 µCq2 = +8 µCr1 = 5 cmr2 = 5 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
+−P2 × 10 cm10 cm+2 µC−2 µC

Ladungen von +2 µC und −2 µC sind 20 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 10 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = −2 µCd = 20 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​20 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​20 ΩBR6​2 Ω

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 9 VR1 = 12 ΩR2 = 30 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 ΩR5 = 12 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​30 Vt = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 3,3 kΩC33 µF+−vC​

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 100 ms.

Vs = 30 VR1 = 3,3 kΩR2 = 3,3 kΩC = 33 µFt = 100 ms
vC = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​10 VR1​ = 15 ΩR2​ = 10 Ωöffnet bei t = 0L220 mHi(t)

Der Schalter parallel zu R2 ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 10 ms.

Vs = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A
7.Magnetfelder & InduktionMittel
IBF = ?

Ein Draht führt einen Strom auf der Seite nach oben durch ein homogenes Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Klicke die Richtung der magnetischen Kraft auf den Draht an.

I: auf der Seite nach obenB: aus der Blattebene heraus
  1. 1auf der Seite nach oben
  2. 2nach rechts
  3. 3auf der Seite nach unten
  4. 4nach links
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
V = 5000 VB = 0,25 Tr = ?

Ein Deuteron startet aus der Ruhe, wird durch eine Potenzialdifferenz von 5000 V beschleunigt und tritt dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld von 0,25 T ein. Bestimme den Radius r seiner Bahn im Feld.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0,25 T
r = cm
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
120 V200 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 22 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 22 µF
φ = °
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
50 V500 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 30 ΩC = 4,7 µFI

Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩC = 4,7 µF
I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 7,192 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,05² = 2,158 × 10⁷ N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

Richtungen und Summe

Beide Ladungen sind positiv: In P zeigen ihre Felder jeweils von ihrer Ladung weg, also in entgegengesetzte Richtungen.

E = |2,158 × 10⁷ − 2,877 × 10⁷| = 7,192 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 7,192 × 10⁶ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,271 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(10² + 10²) = 14,14 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,1414² = 899000 N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Mittelsenkrechten heben sich auf.

E = 2·E1·(a/r) = 2·899000·0,7071 = 1,271 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 1,271 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt parallel zur Verbindungslinie von der positiven zur negativen Ladung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 1,494 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​20 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 5 + 20 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 8·25/(8+25) = 6,061 Ω
Req = R1 + 6,061 = 10 + 6,061 = 16,06 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 24/16,06 = 1,494 A

Antwort

IR1 = 1,494 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,3737 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​20 ΩBR6​2 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 12 + 2 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 8,235 Ω
R3 + 8,235 = 20,24 Ω
R2 ∥ 20,24 = 12,08 Ω
Req = R1 + 12,08 = 12 + 12,08 = 24,08 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 9/24,08 = 0,3737 A

Antwort

IR1 = 0,3737 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 12,61 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·3,3/(3,3 + 3,3) = 1,65 kΩ
vC(∞) = 30·3,3/(3,3 + 3,3) = 15 V

Zeitkonstante

τ = Rth·C = 1,65·33 = 54,45 ms

Ladekurve

vC(t) = 15·(1 − e−100/54,45) = 12,61 V

Antwort

vC = 12,61 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,4856 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 10/15 = 0,6667 A
i(∞) = 10/(15 + 10) = 0,4 A
τ = L/R = 220/25 = 8,8 ms
i(t) = 0,4 + (0,6667 − 0,4)·e−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(10) = 0,4 + (0,2667)·e−10/8,8 = 0,4856 A

Antwort

i = 0,4856 A
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: nach rechts

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Rechte-Hand-Regel

Zeige mit den Fingern entlang des Stroms oder der Geschwindigkeit und krümme sie zu B hin; der Daumen gibt die Kraft auf eine positive Ladung an.

I: auf der Seite nach oben, B: aus der Blattebene heraus

Richtung der Kraft

nach rechts

Antwort

F: nach rechts
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 5,779 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Geschwindigkeit nach der Beschleunigung

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·5000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 692147 m/s

Radius im Feld

r = mv/(|q|B) = 0,05779 m = 5,779 cm

Antwort

r = 5,779 cm

Zusammengefasst: r = √(2mV/|q|)/B, schwerere Ionen gleicher Ladung bewegen sich also auf größeren Kreisen; so werden Isotope getrennt.

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = 79,8 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (278)²) = 282,4 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(278/50) = 79,8°

Antwort

φ = 79,8°
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,9747 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 25,08 − j11,11 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 25 + 25,08 − j11,11 = 50,08 − j11,11 Ω
|Z| = √(50,08² + 11,11²) = 51,3 Ω

Strom

I = V/|Z| = 50/51,3 = 0,9747 A

Antwort

I = 0,9747 A

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