Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++2 µC−−6 µCP30 cm

Eine Ladung von +2 µC und eine Ladung von −6 µC sind 30 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 7,5 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q1 = +2 µCq2 = −6 µCr1 = 7,5 cmr2 = 22,5 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
++P2 × 8 cm10 cm+1 µC+1 µC

Ladungen von +1 µC und +1 µC sind 16 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 10 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +1 µCq2 = +1 µCd = 16 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​5 ΩB

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 6 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​2 Ω

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 8 ΩR5 = 2 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​15 Vt = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 2,2 kΩC100 µF+−vC​

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 50 ms.

Vs = 15 VR1 = 6,8 kΩR2 = 2,2 kΩC = 100 µFt = 50 ms
vC = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​20 Vt = 0R = 4,7 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 4 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 8,8 V erreicht? Bestimme t.

Vs = 20 VR = 4,7 kΩC = 10 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
−vBF = ?

Ein Elektron bewegt sich auf der Seite nach oben durch ein homogenes Magnetfeld, das in die Blattebene hinein zeigt. Klicke die Richtung der magnetischen Kraft auf es an.

v: auf der Seite nach obenB: in die Blattebene hinein
  1. 1auf der Seite nach oben
  2. 2nach rechts
  3. 3auf der Seite nach unten
  4. 4nach links
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
V = 10000 VB = 0,2 Tr = ?

Ein Alphateilchen startet aus der Ruhe, wird durch eine Potenzialdifferenz von 10000 V beschleunigt und tritt dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld von 0,2 T ein. Bestimme den Radius r seiner Bahn im Feld.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,2 T
r = cm
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
50 V60 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4,7 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
120 V60 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF+−VC​

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung VC am Kondensator.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
VC = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 4,262 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,075² = 3,196 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,225² = 1,065 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.

E = |3,196 × 10⁶ + 1,065 × 10⁶| = 4,262 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 4,262 × 10⁶ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 856099 N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(8² + 10²) = 12,81 cm
E1 = k·1 × 10⁻⁶/0,1281² = 548171 N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Verbindungslinie heben sich auf.

E = 2·E1·(h/r) = 2·548171·0,7809 = 856099 N/C

Antwort

E = 856099 N/C

Das Feld zeigt entlang der Mittelsenkrechten von den Ladungen weg.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 13,76 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​5 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 10 + 5 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω
Req = R1 + 1,765 = 12 + 1,765 = 13,76 Ω

Antwort

Req = 13,76 Ω
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 1,095 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 6 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBR6​2 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 2 + 2 = 4 Ω
R4 ∥ 4 = 2,667 Ω
R3 + 2,667 = 7,667 Ω
R2 ∥ 7,667 = 4,678 Ω
Req = R1 + 4,678 = 6 + 4,678 = 10,68 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 30/10,68 = 2,81 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,81·6 = 13,14 V
IR2 = VA/R2 = 13,14/12 = 1,095 A

Antwort

IR2 = 1,095 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 0,9525 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

Rth = R1 ∥ R2 = 6,8·2,2/(6,8 + 2,2) = 1,662 kΩ
vC(∞) = 15·2,2/(6,8 + 2,2) = 3,667 V

Zeitkonstante

τ = Rth·C = 1,662·100 = 166,2 ms

Ladekurve

vC(t) = 3,667·(1 − e−50/166,2) = 0,9525 V

Antwort

vC = 0,9525 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 16,76 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms
vC(t) = 20 + (4 − 20)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

8,8 = 20 + (−16)·e−t/τ → e−t/τ = (8,8 − 20)/(4 − 20) = 0,7
t = τ·ln((4 − 20)/(8,8 − 20)) = 47·ln(1,429) = 16,76 ms

Antwort

t = 16,76 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: nach rechts

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Rechte-Hand-Regel

Zeige mit den Fingern entlang des Stroms oder der Geschwindigkeit und krümme sie zu B hin; der Daumen gibt die Kraft auf eine positive Ladung an.

v: auf der Seite nach oben, B: in die Blattebene hinein

Negative Ladung

Die Kraft auf ein Elektron ist der auf eine positive Ladung entgegengesetzt.

Richtung der Kraft

nach rechts

Antwort

F: nach rechts
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 10,18 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Geschwindigkeit nach der Beschleunigung

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·10000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 982005 m/s

Radius im Feld

r = mv/(|q|B) = 0,1018 m = 10,18 cm

Antwort

r = 10,18 cm

Zusammengefasst: r = √(2mV/|q|)/B, schwerere Ionen gleicher Ladung bewegen sich also auf größeren Kreisen; so werden Isotope getrennt.

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,1055 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−470,1)²) = 473,9 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 50/473,9 = 0,1055 A

Antwort

I = 0,1055 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: VC = 138,2 V

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−489)²) = 489,9 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 120/489,9 = 0,2449 A

Spannung am Kondensator

VC = I·XC = 0,2449·564,4 = 138,2 V

Antwort

VC = 138,2 V

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