Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
- Coulombsches Gesetz
- F = k·|q1q2|/r²
- Feld einer Punktladung
- E = k·|q|/r²
- Konstante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Kraft auf eine Ladung
- F = q·E
Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Reihen- und Parallelschaltung
- Widerstände in Reihe
- Req = R1 + R2 + …
- Widerstände parallel
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Zwei parallel
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ohmsches Gesetz
- V = I·R
- Leistung
- P = V·I = I²R = V²/R
Methode
- Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
- Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
- Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
- Zeitkonstante
- τ = RC | τ = L/R
- Antwort
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensator bei Gleichstrom
- Leerlauf; vC kann nicht springen
- Spule bei Gleichstrom
- Kurzschluss; iL kann nicht springen
- Eingeschwungen
- t ≈ 5τ
Methode
- Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
- Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
- Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
- Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetfelder & Induktion
- Langer gerader Draht
- B = μ0I/(2πr)
- Mittelpunkt einer flachen Spule
- B = μ0NI/(2R)
- Lange Spule
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Kraft auf einen Draht
- F = BIL·sin θ
- Kraft auf eine Ladung
- F = |q|vB·sin θ
- Kreisbewegung
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Parallele Drähte
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluss
- Φ = BA·cos θ
- Faradaysches Induktionsgesetz
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Bewegter Stab
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktivität
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Gegeninduktivität
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Methode
- Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
- Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
- Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
- Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.
Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
- Impedanzen
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kreisfrequenz
- ω = 2πf
- Betrag und Winkel
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ohmsches Gesetz mit Zeigern
- V = I·Z
Methode
- Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
- Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
- Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
- Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.
2Übungsaufgaben
1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
Drei Punktladungen liegen auf einer Geraden: −4 µC links, −10 µC rechts im Abstand 40 cm und +1 µC dazwischen, 24 cm von der linken Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf die mittlere Ladung. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = −4 µCqR = −10 µCqM = +1 µCrL = 24 cmrR = 16 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
Ein Elektron tritt mit 1,5 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 2 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 4400 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.
v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 2 cmE = 4400 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.
V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
Bestimme den Strom IR2 durch R2.
V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 ΩR5 = 30 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung vL an der Spule bei t = 1 ms.
Vs = 9 VR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
Der Schalter parallel zu R2 ist seit Langem offen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 schließt der Schalter und schließt R2 kurz. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 1 ms.
Vs = 9 VR1 = 33 ΩR2 = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
7.Magnetfelder & InduktionMittel
Eine quadratische Schleife bewegt sich nach rechts in einen Bereich mit einem homogenen Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen, während die Schleife in das Feld eintritt.
B: aus der Blattebene herausbeim Eintritt in das Feld
- 1im Uhrzeigersinn
- 2gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Ein Deuteron startet aus der Ruhe, wird durch eine Potenzialdifferenz von 2000 V beschleunigt und tritt dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld von 0,3 T ein. Bestimme den Radius r seiner Bahn im Feld.
m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0,3 T
r = cm
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 10 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 12 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 100 µF
f0 = Hz
3Lösungen
1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: F = 2,887 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Kraft von jeder Ladung
Rechts ist positiv.
FL = −k·4·1 × 10⁻¹²/0,24² = −0,6243 N
FR = +k·10·1 × 10⁻¹²/0,16² = 3,512 N
Resultierende Kraft
F = −0,6243 + (3,512) = 2,887 N → |F| = 2,887 N
Antwort
F = 2,887 N
Die resultierende Kraft zeigt nach rechts.
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: y = 0,6878 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Zeit zwischen den Platten
t = L/v₀ = 0,02/1,5 × 10⁷ = 1,333 × 10⁻⁹ s
Seitliche Beschleunigung
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4400/9,109 × 10⁻³¹ = 7,738 × 10¹⁴ m/s²
Durchbiegung
y = ½·a·t² = ½·7,738 × 10¹⁴·(1,333 × 10⁻⁹)² = 0,0006878 m = 0,6878 mm
Antwort
y = 0,6878 mm
Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.
3.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 0,5799 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 10 + 12 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 8·22/(8+22) = 5,867 Ω
Req = R1 + 5,867 = 20 + 5,867 = 25,87 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 15/25,87 = 0,5799 A
Antwort
IR1 = 0,5799 A
4.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR2 = 0,2276 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 30 + 5 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 5,122 Ω
R3 + 5,122 = 20,12 Ω
R2 ∥ 20,12 = 7,517 Ω
Req = R1 + 7,517 = 20 + 7,517 = 27,52 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 10/27,52 = 0,3634 A
Strom durch R₂
Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,3634·20 = 2,732 V
IR2 = VA/R2 = 2,732/12 = 0,2276 A
Antwort
IR2 = 0,2276 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: vL = 0,4347 V
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Zeitkonstante und Endstrom
Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.
τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms
i(∞) = Vs/R = 9/100 = 0,09 A
Spulenspannung
Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−1/0,33 = 0,4347 V
Antwort
vL = 0,4347 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: i = 0,237 A
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante
Vor t = 0 liegen beide Widerstände im Kreis; danach überbrückt der geschlossene Schalter R₂.
i(0) = 9/(33 + 47) = 0,1125 A
i(∞) = 9/33 = 0,2727 A
τ = L/R = 22/33 = 0,6667 ms
i(t) = 0,2727 + (0,1125 − 0,2727)·e−t/τ
Strom zum gegebenen Zeitpunkt
i(1) = 0,2727 + (−0,1602)·e−1/0,6667 = 0,237 A
Antwort
i = 0,237 A
7.Magnetfelder & Induktion
Antwort: im Uhrzeigersinn
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Flussänderung
Der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt zu, oder der Fluss in die Blattebene hinein nimmt ab.
Feld des induzierten Stroms
Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.
Induziertes Feld im Inneren der Schleife: in die Blattebene hinein.
Richtung des Stroms
Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.
im Uhrzeigersinn
Antwort
im Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & Induktion
Antwort: r = 3,046 cm
Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Geschwindigkeit nach der Beschleunigung
v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 437752 m/s
Radius im Feld
r = mv/(|q|B) = 0,03046 m = 3,046 cm
Antwort
r = 3,046 cm
Zusammengefasst: r = √(2mV/|q|)/B, schwerere Ionen gleicher Ladung bewegen sich also auf größeren Kreisen; so werden Isotope getrennt.
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: I = 0,3276 A
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstände
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω
Impedanz
In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−302,6)²) = 305,2 Ω
Strom
Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.
I = V/|Z| = 100/305,2 = 0,3276 A
Antwort
I = 0,3276 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: f0 = 35,59 Hz
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Resonanz
Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·100·10⁻⁶)) = 35,59 Hz
Antwort
f0 = 35,59 Hz
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