Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Eine Ladung von +8 µC und eine Ladung von +6 µC sind 60 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 30 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q₁ = +8 µCq₂ = +6 µCr₁ = 30 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 10 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 2 µC ist 10 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 8 µC 4 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 8 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 36 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 80 % seines Endwerts? Bestimme t.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 22 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter parallel zu R₂ ist seit Langem offen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 schließt der Schalter und schließt R₂ kurz. Wie lange nach t = 0 erreicht der Spulenstrom 0,584 A? Bestimme t.

V_s = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 22 ΩL = 22 mH

t = ms

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Zwei lange parallele Drähte im Abstand von 6 cm führen Ströme von 20 A und 15 A in entgegengesetzten Richtungen. Bestimme die Kraft pro Meter Länge F/L zwischen ihnen.

I₁ = 20 AI₂ = 15 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Ein Deuteron startet aus der Ruhe, wird durch eine Potenzialdifferenz von 2500 V beschleunigt und tritt dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld von 0,1 T ein. Bestimme den Radius r seiner Bahn im Feld.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,1 T

r = cm

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 22 µF

φ = °

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis wird von einer Quelle mit 24 V (Effektivwert) gespeist, deren Frequenz auf die Resonanzfrequenz der Schaltung eingestellt ist. Bestimme die Effektivspannung V_L an der Spule.

V = 24 V (rms)R = 20 ΩL = 100 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 199778 N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,3² = 799111 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,3² = 599333 N/C

Richtungen und Summe

Beide Ladungen sind positiv: In P zeigen ihre Felder jeweils von ihrer Ladung weg, also in entgegengesetzte Richtungen.

E = |799111 − 599333| = 199778 N/C

Antwort

E = 199778 N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 449,9 N

Einzelkräfte auf q₃

F₁ = k·2·10 × 10⁻¹²/0,1² = 17,98 N

F₂ = k·8·10 × 10⁻¹²/0,04² = 449,5 N

Vektorsumme

F = √(17,98² + 449,5²) = 449,9 N

Antwort

F = 449,9 N

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 1,658 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1,75 Ω

R_eq = R₁ + 1,75 = 3 + 1,75 = 4,75 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/4,75 = 1,895 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 1,895·3 = 3,316 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,316/2 = 1,658 A

Antwort

I_R2 = 1,658 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 3,6 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 30 + 30 = 60 Ω

R₄ ∥ 60 = 12 Ω

R₃ + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 6 + 4 = 10 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/10 = 3,6 A

Antwort

I_R1 = 3,6 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 1,073 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Nach der Zeit auflösen

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −0,6667·ln(0,2) = 1,073 ms

Antwort

t = 1,073 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 0,5239 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 liegen beide Widerstände im Kreis; danach überbrückt der geschlossene Schalter R₂.

i(0) = 15/(15 + 22) = 0,4054 A

i(∞) = 15/15 = 1 A

τ = L/R = 22/15 = 1,467 ms

i(t) = 1 + (0,4054 − 1)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

e^−t/τ = (0,584 − 1)/(0,4054 − 1) = 0,6996

t = 1,467·ln(1,429) = 0,5239 ms

Antwort

t = 0,5239 ms

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: F/L = 1000 µN/m

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kraft pro Meter

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·15/0,06 = 1000 µN/m

Antwort

F/L = 1000 µN/m

Ströme in entgegengesetzter Richtung stoßen sich ab.

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 10,22 cm

Geschwindigkeit nach der Beschleunigung

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2500/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 489422 m/s

Radius im Feld

r = mv/(|q|B) = 0,1022 m = 10,22 cm

Antwort

r = 10,22 cm

Zusammengefasst: r = √(2mV/|q|)/B, schwerere Ionen gleicher Ladung bewegen sich also auf größeren Kreisen; so werden Isotope getrennt.

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = 67,18 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (142,6)²) = 154,7 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(142,6/60) = 67,18°

Antwort

φ = 67,18°

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_L = 809 V

Resonanz

Bei Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf, die Impedanz ist also nur R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,22·10⁻⁶) = 6742 rad/s

I = V/R = 24/20 = 1,2 A

Spannung an der Spule

X_L = ω₀L = 6742·0,1 = 674,2 Ω

V_L = I·X_L = 1,2·674,2 = 809 V

Antwort

V_L = 809 V

Das ist das Q = 33,71-Fache der Versorgungsspannung.

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