Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Drei Punktladungen liegen auf einer Geraden: +5 µC links, −1 µC rechts im Abstand 10 cm und −4 µC dazwischen, 6 cm von der linken Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf die mittlere Ladung. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +5 µCq_R = −1 µCq_M = −4 µCr_L = 6 cmr_R = 4 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 3 g hängen an isolierenden Fäden von 50 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 15° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 50 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt einen konstanten Strom von 3 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Bestimme die Spannung v_R an R bei t = 1 ms.

i(0) = 3 AR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter parallel zu R₂ ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Wie lange nach t = 0 erreicht der Spulenstrom 0,525 A? Bestimme t.

V_s = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩL = 100 mH

t = ms

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein Alphateilchen bewegt sich mit 1,5 × 10⁶ m/s senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld von 1,5 T. Bestimme den Radius r seiner Kreisbahn.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 1,5 × 10⁶ m/sB = 1,5 T

r = cm

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine lange Luftspule hat 400 Windungen, eine Länge von 10 cm und einen Durchmesser von 1 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 0,5 A führt.

N = 400l = 10 cm⌀ = 1 cmI = 0,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme den Leistungsfaktor cos φ der Schaltung.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 250 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis wird von einer Quelle mit 10 V (Effektivwert) gespeist, deren Frequenz auf die Resonanzfrequenz der Schaltung eingestellt ist. Bestimme die Effektivspannung V_L an der Spule.

V = 10 V (rms)R = 50 ΩL = 100 mHC = 1 µF

V_L = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 72,42 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kraft von jeder Ladung

Rechts ist positiv.

F_L = −k·5·4 × 10⁻¹²/0,06² = −49,94 N

F_R = −k·1·4 × 10⁻¹²/0,04² = −22,47 N

Resultierende Kraft

F = −49,94 + (−22,47) = −72,42 N → |F| = 72,42 N

Antwort

F = 72,42 N

Die resultierende Kraft zeigt nach links.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 242,4 nC

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 15° = 0,007886 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 15° = 0,2588 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2588·√(0,007886/8,99 × 10⁹) = 2,424 × 10⁻⁷ C = 242,4 nC

Antwort

q = 242,4 nC

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 4,387 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 15 + 10 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω

R_eq = R₁ + 4,839 = 2 + 4,839 = 6,839 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/6,839 = 4,387 A

Antwort

I_R1 = 4,387 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 23,31 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 3 + 3 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 2 Ω

R₃ + 2 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 8,308 Ω

R_eq = R₁ + 8,308 = 15 + 8,308 = 23,31 Ω

Antwort

R_eq = 23,31 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_R = 71,9 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

Abklingen des Stroms

i(t) = 3·e^−1/1,36 = 1,438 A

v_R = R·i = 50·1,438 = 71,9 V

Antwort

v_R = 71,9 V

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 2,291 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 15/20 = 0,75 A

i(∞) = 15/(20 + 20) = 0,375 A

τ = L/R = 100/40 = 2,5 ms

i(t) = 0,375 + (0,75 − 0,375)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

e^−t/τ = (0,525 − 0,375)/(0,75 − 0,375) = 0,4

t = 2,5·ln(2,5) = 2,291 ms

Antwort

t = 2,291 ms

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 2,074 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kräftegleichgewicht

Die magnetische Kraft steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit, sie krümmt die Bahn also zu einem Kreis.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Radius

r = 6,645 × 10⁻²⁷·1,5 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·1,5) = 0,02074 m = 2,074 cm

Antwort

r = 2,074 cm

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: W = 19,74 µJ

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 157,9 µH

Gespeicherte Energie

W = ½LI² = ½·0,0001579·0,5² = 1,974 × 10⁻⁵ J = 19,74 µJ

Antwort

W = 19,74 µJ

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: cos φ = 0,413

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

X_L = 78,54 Ω, X_C = 144,7 Ω

Impedanz

|Z| = √(30² + (−66,15)²) = 72,63 Ω

Leistungsfaktor

cos φ = R/|Z| = 30/72,63 = 0,413

Die Schaltung ist kapazitiv, der Leistungsfaktor ist also kapazitiv (voreilend).

Antwort

cos φ = 0,413

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_L = 63,25 V

Resonanz

Bei Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf, die Impedanz ist also nur R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·1·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 10/50 = 0,2 A

Spannung an der Spule

X_L = ω₀L = 3162·0,1 = 316,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·316,2 = 63,25 V

Antwort

V_L = 63,25 V

Das ist das Q = 6,325-Fache der Versorgungsspannung.

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