Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
−−4 µC−−6 µC++6 µC12 cm + 8 cm

Drei Punktladungen liegen auf einer Geraden: −4 µC links, +6 µC rechts im Abstand 20 cm und −6 µC dazwischen, 12 cm von der linken Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf die mittlere Ladung. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −4 µCqR = +6 µCqM = −6 µCrL = 12 cmrR = 8 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
L = 20 cm15°qq

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 8 g hängen an isolierenden Fäden von 20 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 15° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 20 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​20 ΩB

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 2 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 36 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 ΩR5 = 15 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​5 Vt = 0R = 15 ΩL10 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 99 % seines Endwerts? Bestimme t.

Vs = 5 VR = 15 ΩL = 10 mH
t = ms
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​10 Vt = 0R = 2,2 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 20 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 13 V erreicht? Bestimme t.

Vs = 10 VR = 2,2 kΩC = 33 µFvC(0) = 20 V
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
R = 2 Ωv = 2 m/sL = 30 cmB = 0,8 T

Ein 30 cm langer Metallstab gleitet mit 2 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,8 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Die Schienen sind durch einen Widerstand von 2 Ω verbunden; Stab und Schienen haben vernachlässigbaren Widerstand. Bestimme die im Widerstand umgesetzte Leistung P.

B = 0,8 TL = 30 cmv = 2 m/sR = 2 Ω
P = mW
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Bn = 600 rpm12 cm × 10 cmN = 100B = 0,2 T

Eine Spule mit 100 Windungen, 12 cm × 10 cm, rotiert mit 600 U/min in einem homogenen Feld von 0,2 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Bestimme die Scheitelspannung E0.

N = 100A = 12 cm × 10 cmB = 0,2 Tn = 600 rpm
E0 = V
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
24 V500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF
φ = °
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
100 V1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 22 µF+−VC​

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 1000 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung VC am Kondensator.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 22 µF
VC = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 65,55 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Kraft von jeder Ladung

Rechts ist positiv.

FL = +k·4·6 × 10⁻¹²/0,12² = 14,98 N
FR = +k·6·6 × 10⁻¹²/0,08² = 50,57 N

Resultierende Kraft

F = 14,98 + (50,57) = 65,55 N → |F| = 65,55 N

Antwort

F = 65,55 N

Die resultierende Kraft zeigt nach rechts.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 158,3 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 15° = 0,02103 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 15° = 0,1035 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1035·√(0,02103/8,99 × 10⁹) = 1,583 × 10⁻⁷ C = 158,3 nC

Antwort

q = 158,3 nC
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 5,385 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​20 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 2 + 20 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 4·22/(4+22) = 3,385 Ω
Req = R1 + 3,385 = 2 + 3,385 = 5,385 Ω

Antwort

Req = 5,385 Ω
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 3,573 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 15 + 30 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 6,792 Ω
R3 + 6,792 = 8,792 Ω
R2 ∥ 8,792 = 5,074 Ω
Req = R1 + 5,074 = 5 + 5,074 = 10,07 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 36/10,07 = 3,573 A

Antwort

IR1 = 3,573 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 3,07 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms
i(∞) = Vs/R = 5/15 = 0,3333 A

Nach der Zeit auflösen

0,99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)
t = −0,6667·ln(0,01) = 3,07 ms

Antwort

t = 3,07 ms
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 87,41 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms
vC(t) = 10 + (20 − 10)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

13 = 10 + (10)·e−t/τ → e−t/τ = (13 − 10)/(20 − 10) = 0,3
t = τ·ln((20 − 10)/(13 − 10)) = 72,6·ln(3,333) = 87,41 ms

Antwort

t = 87,41 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: P = 115,2 mW

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,8·0,3·2 = 0,48 V

Strom

I = ε/R = 0,48/2 = 0,24 A

Leistung

P = εI = 0,48·0,24 = 0,1152 W

Antwort

P = 115,2 mW
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: E0 = 15,08 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Winkelgeschwindigkeit und Fläche

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s
A = 0,012 m²

Scheitelspannung

E₀ = NBAω = 100·0,2·0,012·62,83 = 15,08 V

Antwort

E0 = 15,08 V
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = 30,82 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (59,65)²) = 116,4 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(59,65/100) = 30,82°

Antwort

φ = 30,82°
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: VC = 1,159 V

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (621,1)²) = 624 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 100/624 = 0,1603 A

Spannung am Kondensator

VC = I·XC = 0,1603·7,234 = 1,159 V

Antwort

VC = 1,159 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism