Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++4 µC−−2 µCP30 cm

Eine Ladung von +4 µC und eine Ladung von −2 µC sind 30 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 15 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q1 = +4 µCq2 = −2 µCr1 = 15 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
4 cm3 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +8 µC+q2​ = +4 µC

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 8 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 6 µC ist 4 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 4 µC 3 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q1 = 6 µCq2 = 4 µCq3 = 8 µCr13 = 4 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩIR2​AR4​20 ΩBR6​10 Ω

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 36 VR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
R = 50 Ωt = 0L68 mHi(t)

Die Spule führt einen konstanten Strom von 1 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Bestimme die Spannung vR an R bei t = 1 ms.

i(0) = 1 AR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vR = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​15 Vt = 0R = 3,3 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 6 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 13,2 V erreicht? Bestimme t.

Vs = 15 VR = 3,3 kΩC = 33 µFvC(0) = 6 V
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
nBA = 150 cm², N = 250B = 0,2 T

Eine Spule mit 250 Windungen hat die Fläche 150 cm². Die Spule befindet sich in einem homogenen Feld von 0,2 T senkrecht zu ihrer Ebene, und das Feld wird in 500 ms abgeschaltet. Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.

N = 250A = 150 cm²B = 0,2 TΔt = 500 ms
ε = V
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
l = 10 cmN = 200, ⌀ 1,5 cm

Eine lange Luftspule hat 200 Windungen, eine Länge von 10 cm und einen Durchmesser von 1,5 cm. Bestimme ihre Selbstinduktivität L.

N = 200l = 10 cm⌀ = 1,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
100 V100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 100 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
230 V100 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 60 ΩC = 22 µF

Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR1 = 25 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 2,397 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,15² = 1,598 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,15² = 799111 N/C

Richtungen und Summe

Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.

E = |1,598 × 10⁶ + 799111| = 2,397 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 2,397 × 10⁶ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 418,2 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F1 = k·6·8 × 10⁻¹²/0,04² = 269,7 N
F2 = k·4·8 × 10⁻¹²/0,03² = 319,6 N

Vektorsumme

F = √(269,7² + 319,6²) = 418,2 N

Antwort

F = 418,2 N
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,757 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 6 + 20 = 26 Ω
R2 ∥ 26 = 12·26/(12+26) = 8,211 Ω
Req = R1 + 8,211 = 5 + 8,211 = 13,21 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 10/13,21 = 0,757 A

Antwort

IR1 = 0,757 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,9055 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩAR4​20 ΩBR6​10 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 15 + 10 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 11,11 Ω
R3 + 11,11 = 14,11 Ω
R2 ∥ 14,11 = 7,271 Ω
Req = R1 + 7,271 = 12 + 7,271 = 19,27 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 36/19,27 = 1,868 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1,868·12 = 13,58 V
IR2 = VA/R2 = 13,58/15 = 0,9055 A

Antwort

IR2 = 0,9055 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vR = 23,97 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

Abklingen des Stroms

i(t) = 1·e−1/1,36 = 0,4794 A
vR = R·i = 50·0,4794 = 23,97 V

Antwort

vR = 23,97 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 175,3 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms
vC(t) = 15 + (6 − 15)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

13,2 = 15 + (−9)·e−t/τ → e−t/τ = (13,2 − 15)/(6 − 15) = 0,2
t = τ·ln((6 − 15)/(13,2 − 15)) = 108,9·ln(5) = 175,3 ms

Antwort

t = 175,3 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 1,5 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = 0,2·0,015 = 0,003 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,003/0,5 = 1,5 V

Antwort

ε = 1,5 V
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: L = 88,83 µH

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Querschnitt

A = π·(0,0075)² = 0,0001767 m²

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·200²·0,0001767/0,1 = 8,883 × 10⁻⁵ H = 88,83 µH

Antwort

L = 88,83 µH
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 4,636 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (15,5)²) = 21,57 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 100/21,57 = 4,636 A

Antwort

I = 4,636 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 67,34 Ω

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 35,55 − j29,48 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 25 + 35,55 − j29,48 = 60,55 − j29,48 Ω
|Z| = √(60,55² + 29,48²) = 67,34 Ω

Antwort

|Z| = 67,34 Ω

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