Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++6 µC−−6 µCP30 cm

Eine Ladung von +6 µC und eine Ladung von −6 µC sind 30 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 7,5 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q1 = +6 µCq2 = −6 µCr1 = 7,5 cmr2 = 22,5 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
+ + + + + +− − − − − −e⁻3,5 × 10⁷ m/s4 cmE = 3600 N/C

Ein Elektron tritt mit 3,5 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 4 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 3600 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 3600 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩIR2​AR4​6 ΩB

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 30 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAR4​4 ΩBR6​8 Ω

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 5 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 30 ΩR4 = 4 ΩR5 = 3 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​12 Vt = 0R = 20 ΩL10 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme den Strom i bei t = 1 ms.

Vs = 12 VR = 20 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 4 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 750 ms.

Vs = 12 VR = 10 kΩC = 68 µFvC(0) = 4 Vt = 750 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
−v = 3 × 10⁶ m/sB = 20 mT

Ein Elektron bewegt sich auf einem Kreis in einem homogenen Magnetfeld von 20 mT. Bestimme die Zeit T für einen Umlauf.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 20 mT
T = ns
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
E = 1 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,25 T

In einem Geschwindigkeitsfilter lassen gekreuzte Felder E = 1 × 10⁴ V/m und B = 0,25 T nur Ionen einer Geschwindigkeit geradlinig passieren. Bestimme diese Geschwindigkeit v.

E = 1 × 10⁴ V/mB1 = 0,25 T
v = m/s
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Vf0​ = 500 HzRL = 50 mHC = ?

Ein RLC-Reihenschwingkreis mit L = 50 mH soll bei 500 Hz in Resonanz sein. Bestimme die nötige Kapazität C.

f0 = 500 HzL = 50 mH
C = µF
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
24 V500 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 20 ΩC = 47 µF

Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR1 = 50 ΩR2 = 20 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,065 × 10⁷ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,075² = 9,589 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,225² = 1,065 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.

E = |9,589 × 10⁶ + 1,065 × 10⁶| = 1,065 × 10⁷ N/C

Antwort

E = 1,065 × 10⁷ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: y = 0,4135 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Zeit zwischen den Platten

t = L/v₀ = 0,04/3,5 × 10⁷ = 1,143 × 10⁻⁹ s

Seitliche Beschleunigung

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3600/9,109 × 10⁻³¹ = 6,331 × 10¹⁴ m/s²

Durchbiegung

y = ½·a·t² = ½·6,331 × 10¹⁴·(1,143 × 10⁻⁹)² = 0,0004135 m = 0,4135 mm

Antwort

y = 0,4135 mm

Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,8317 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​6 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 15 + 6 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 3·21/(3+21) = 2,625 Ω
Req = R1 + 2,625 = 10 + 2,625 = 12,63 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 12/12,63 = 0,9505 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,9505·10 = 2,495 V
IR2 = VA/R2 = 2,495/3 = 0,8317 A

Antwort

IR2 = 0,8317 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,266 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 10 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAR4​4 ΩBR6​8 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 3 + 8 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 2,933 Ω
R3 + 2,933 = 32,93 Ω
R2 ∥ 32,93 = 8,795 Ω
Req = R1 + 8,795 = 10 + 8,795 = 18,8 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 5/18,8 = 0,266 A

Antwort

IR1 = 0,266 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,5188 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0,5 ms
i(∞) = Vs/R = 12/20 = 0,6 A

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,6·(1 − e−1/0,5) = 0,5188 A

Antwort

i = 0,5188 A
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 9,345 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms
vC(t) = 12 + (4 − 12)·e−t/τ

Spannung zum gegebenen Zeitpunkt

vC(750) = 12 + (−8)·e−750/680 = 9,345 V

Antwort

vC = 9,345 V
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: T = 1,786 ns

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Umlaufzeit der Kreisbewegung

Ein schnelleres Teilchen bewegt sich auf einem größeren Kreis, die Zeit pro Umlauf bleibt also gleich.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,02) = 1,786 ns

Antwort

T = 1,786 ns

Die Geschwindigkeit wird nicht gebraucht: Deshalb kann ein Zyklotron mit einer festen Frequenz arbeiten.

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: v = 40000 m/s

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Ausgewählte Geschwindigkeit

Unabgelenkt: Die elektrische Kraft qE hält der magnetischen Kraft qvB das Gleichgewicht.

v = E/B1 = 1 × 10⁴/0,25 = 40000 m/s

Antwort

v = 40000 m/s
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: C = 2,026 µF

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzbedingung

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,05) = 2,026 µF

Antwort

C = 2,026 µF
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 52,41 Ω

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 2,057 − j6,076 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 50 + 2,057 − j6,076 = 52,06 − j6,076 Ω
|Z| = √(52,06² + 6,076²) = 52,41 Ω

Antwort

|Z| = 52,41 Ω

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