Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++2 µC++8 µCE = 010 cm

Ladungen von +2 µC und +8 µC sind 10 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +2 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q1 = +2 µCq2 = +8 µCd = 10 cm
x = cm
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
++P2 × 5 cm5 cm+4 µC+4 µC

Ladungen von +4 µC und +4 µC sind 10 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 5 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +4 µCq2 = +4 µCd = 10 cmh = 5 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAR4​8 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​8 Ω

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 25 ΩR5 = 8 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​15 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 3,3 kΩC220 µF+−vC​

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Zeitkonstante τ der Schaltung nach dem Schließen des Schalters.

Vs = 15 VR1 = 1 kΩR2 = 3,3 kΩC = 220 µF
τ = ms
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​24 VR1​ = 15 ΩR2​ = 5 Ωschließt bei t = 0L33 mHi(t)

Der Schalter parallel zu R2 ist seit Langem offen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 schließt der Schalter und schließt R2 kurz. Wie lange nach t = 0 erreicht der Spulenstrom 1,36 A? Bestimme t.

Vs = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩL = 33 mH
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
+v = 2,5 × 10⁵ m/sr = ?B = 0,4 T

Ein Alphateilchen bewegt sich mit 2,5 × 10⁵ m/s senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld von 0,4 T. Bestimme den Radius r seiner Kreisbahn.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁵ m/sB = 0,4 T
r = cm
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Bn = 600 rpm10 cm × 20 cmN = 50B = 0,05 T

Eine Spule mit 50 Windungen, 10 cm × 20 cm, rotiert mit 600 U/min in einem homogenen Feld von 0,05 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Bestimme die Scheitelspannung E0.

N = 50A = 10 cm × 20 cmB = 0,05 Tn = 600 rpm
E0 = V
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
100 V200 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Leistungsfaktor cos φ der Schaltung.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µF
cos φ =
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
50 V200 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF+−VC​

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung VC am Kondensator.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
VC = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 3,333 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

2/x² = 8/(10 − x)²
(10 − x)/x = √(8/2) = 2

Position

x = 10/(1 + 2) = 3,333 cm

Antwort

x = 3,333 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,017 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(5² + 5²) = 7,071 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,07071² = 7,192 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Verbindungslinie heben sich auf.

E = 2·E1·(h/r) = 2·7,192 × 10⁶·0,7071 = 1,017 × 10⁷ N/C

Antwort

E = 1,017 × 10⁷ N/C

Das Feld zeigt entlang der Mittelsenkrechten von den Ladungen weg.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,5407 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 20 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAR4​8 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 8 + 8 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 15·16/(15+16) = 7,742 Ω
Req = R1 + 7,742 = 20 + 7,742 = 27,74 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 15/27,74 = 0,5407 A

Antwort

IR1 = 0,5407 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,8878 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​25 ΩBR6​8 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 8 + 8 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 9,756 Ω
R3 + 9,756 = 29,76 Ω
R2 ∥ 29,76 = 6,305 Ω
Req = R1 + 6,305 = 15 + 6,305 = 21,3 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 24/21,3 = 1,127 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,127·15 = 7,102 V
IR2 = VA/R2 = 7,102/8 = 0,8878 A

Antwort

IR2 = 0,8878 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: τ = 168,8 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·3,3/(1 + 3,3) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 15·3,3/(1 + 3,3) = 11,51 V

Zeitkonstante

τ = Rth·C = 0,7674·220 = 168,8 ms

Antwort

τ = 168,8 ms
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 1,124 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 liegen beide Widerstände im Kreis; danach überbrückt der geschlossene Schalter R₂.

i(0) = 24/(15 + 5) = 1,2 A
i(∞) = 24/15 = 1,6 A
τ = L/R = 33/15 = 2,2 ms
i(t) = 1,6 + (1,2 − 1,6)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

e−t/τ = (1,36 − 1,6)/(1,2 − 1,6) = 0,6
t = 2,2·ln(1,667) = 1,124 ms

Antwort

t = 1,124 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 1,296 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kräftegleichgewicht

Die magnetische Kraft steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit, sie krümmt die Bahn also zu einem Kreis.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Radius

r = 6,645 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,01296 m = 1,296 cm

Antwort

r = 1,296 cm
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: E0 = 3,142 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Winkelgeschwindigkeit und Fläche

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s
A = 0,02 m²

Scheitelspannung

E₀ = NBAω = 50·0,05·0,02·62,83 = 3,142 V

Antwort

E0 = 3,142 V
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: cos φ = 0,7367

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

XL = 62,83 Ω, XC = 16,93 Ω

Impedanz

|Z| = √(50² + (45,9)²) = 67,87 Ω

Leistungsfaktor

cos φ = R/|Z| = 50/67,87 = 0,7367
Die Schaltung ist induktiv, der Leistungsfaktor ist also induktiv (nacheilend).

Antwort

cos φ = 0,7367
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: VC = 176,3 V

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−43,65)²) = 48,01 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 50/48,01 = 1,041 A

Spannung am Kondensator

VC = I·XC = 1,041·169,3 = 176,3 V

Antwort

VC = 176,3 V

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