Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++3 µC++8 µCE = 080 cm

Ladungen von +3 µC und +8 µC sind 80 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +3 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q1 = +3 µCq2 = +8 µCd = 80 cm
x = cm
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
+−P2 × 6 cm5 cm+4 µC−4 µC

Ladungen von +4 µC und −4 µC sind 12 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 5 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +4 µCq2 = −4 µCd = 12 cmh = 5 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​3 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 25 ΩIR1​R3​ = 30 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​8 Ω

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 30 ΩR4 = 12 ΩR5 = 20 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 2,2 kΩC10 µF+−vC​

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 20 ms.

Vs = 6 VR1 = 1 kΩR2 = 2,2 kΩC = 10 µFt = 20 ms
vC = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​12 VR1​ = 15 ΩR2​ = 47 Ωschließt bei t = 0L47 mHi(t)

Der Schalter parallel zu R2 ist seit Langem offen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 schließt der Schalter und schließt R2 kurz. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 5 ms.

Vs = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 47 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A
7.Magnetfelder & InduktionMittel
nBA = 200 cm², N = 10B: 0,1 → 0,4 T

Eine Spule mit 10 Windungen, der Fläche 200 cm² und dem Widerstand 4 Ω bildet einen geschlossenen Stromkreis. Ein homogenes Feld senkrecht zur Spule steigt in 250 ms gleichmäßig von 0,1 T auf 0,4 T. Bestimme den mittleren induzierten Strom I.

N = 10A = 200 cm²B: 0,1 T → 0,4 TΔt = 250 msR = 4 Ω
I = mA
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
I = 2,5 Al = 10 cmN = 1500, ⌀ 1 cm

Eine lange Luftspule hat 1500 Windungen, eine Länge von 10 cm und einen Durchmesser von 1 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 2,5 A führt.

N = 1500l = 10 cm⌀ = 1 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
24 V500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 10 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Leistungsfaktor cos φ der Schaltung.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
VfR = 15 ΩL = 1 mHC = 0,022 µF

Ein RLC-Reihenschwingkreis hat R = 15 Ω, L = 1 mH und C = 0,022 µF. Bestimme seine Güte Q bei Resonanz.

R = 15 ΩL = 1 mHC = 0,022 µF
Q =

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 30,38 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

3/x² = 8/(80 − x)²
(80 − x)/x = √(8/3) = 1,633

Position

x = 80/(1 + 1,633) = 30,38 cm

Antwort

x = 30,38 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 9,057 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(6² + 5²) = 7,81 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,0781² = 5,895 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Mittelsenkrechten heben sich auf.

E = 2·E1·(a/r) = 2·5,895 × 10⁶·0,7682 = 9,057 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 9,057 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt parallel zur Verbindungslinie von der positiven zur negativen Ladung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,5172 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​3 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 5 + 3 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω
Req = R1 + 1,6 = 10 + 1,6 = 11,6 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 6/11,6 = 0,5172 A

Antwort

IR1 = 0,5172 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,3585 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 25 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​8 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 20 + 8 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 8,4 Ω
R3 + 8,4 = 38,4 Ω
R2 ∥ 38,4 = 16,84 Ω
Req = R1 + 16,84 = 25 + 16,84 = 41,84 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 15/41,84 = 0,3585 A

Antwort

IR1 = 0,3585 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 3,9 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·2,2/(1 + 2,2) = 0,6875 kΩ
vC(∞) = 6·2,2/(1 + 2,2) = 4,125 V

Zeitkonstante

τ = Rth·C = 0,6875·10 = 6,875 ms

Ladekurve

vC(t) = 4,125·(1 − e−20/6,875) = 3,9 V

Antwort

vC = 3,9 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,677 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 liegen beide Widerstände im Kreis; danach überbrückt der geschlossene Schalter R₂.

i(0) = 12/(15 + 47) = 0,1935 A
i(∞) = 12/15 = 0,8 A
τ = L/R = 47/15 = 3,133 ms
i(t) = 0,8 + (0,1935 − 0,8)·e−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(5) = 0,8 + (−0,6065)·e−5/3,133 = 0,677 A

Antwort

i = 0,677 A
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: I = 60 mA

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = (0,4 − 0,1)·0,02 = 0,006 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,006/0,25 = 0,24 V

Strom

I = ε/R = 0,24/4 = 0,06 A

Antwort

I = 60 mA
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: W = 6,94 mJ

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Selbstinduktivität

L = μ₀N²A/l = 2,221 mH

Gespeicherte Energie

W = ½LI² = ½·0,002221·2,5² = 0,00694 J = 6,94 mJ

Antwort

W = 6,94 mJ
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: cos φ = 0,7904

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

XL = 62,83 Ω, XC = 31,83 Ω

Impedanz

|Z| = √(40² + (31)²) = 50,61 Ω

Leistungsfaktor

cos φ = R/|Z| = 40/50,61 = 0,7904
Die Schaltung ist induktiv, der Leistungsfaktor ist also induktiv (nacheilend).

Antwort

cos φ = 0,7904
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: Q = 14,21

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzfrequenz

f0 = 1/(2π·√(0,001·0,022·10⁻⁶)) = 33932 Hz

Güte

Die Güte vergleicht den Blindwiderstand bei Resonanz mit dem Widerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,001/(0,022·10⁻⁶)) = 14,21

Antwort

Q = 14,21

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