Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++8 µC++10 µCE = 020 cm

Ladungen von +8 µC und +10 µC sind 20 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +8 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q1 = +8 µCq2 = +10 µCd = 20 cm
x = cm
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
+−P2 × 8 cm10 cm+2 µC−2 µC

Ladungen von +2 µC und −2 µC sind 16 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 10 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = −2 µCd = 16 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 20 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​3 ΩB

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩIR2​AR4​4 ΩBR6​4 Ω

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩR4 = 4 ΩR5 = 6 ΩR6 = 4 Ω
IR2 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​15 Vt = 0R = 33 ΩL33 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung vL an der Spule bei t = 1 ms.

Vs = 15 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​24 Vt = 0R = 2,2 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 10 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 1000 ms.

Vs = 24 VR = 2,2 kΩC = 220 µFvC(0) = 10 Vt = 1000 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
R = 2 Ωv = 2,5 m/sL = 80 cmB = 0,25 T

Ein 80 cm langer Metallstab gleitet mit 2,5 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,25 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Die Schienen sind durch einen Widerstand von 2 Ω verbunden; Stab und Schienen haben vernachlässigbaren Widerstand. Bestimme die Kraft F, die nötig ist, um den Stab mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen (keine Reibung).

B = 0,25 TL = 80 cmv = 2,5 m/sR = 2 Ω
F = mN
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
L1​ = 40 mH500 A/sL2​ = 5 mHk = 0,5ε = ?

Zwei Spulen mit Selbstinduktivitäten von 40 mH und 5 mH haben einen Kopplungsfaktor von 0,5. Der Strom in der ersten Spule ändert sich mit 500 A/s. Bestimme die in der zweiten Spule induzierte Spannung ε.

L1 = 40 mHL2 = 5 mHk = 0,5di/dt = 500 A/s
ε = V
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
24 V60 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 100 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 100 µF
φ = °
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
230 V60 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 10 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 10 µF
f0 = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 9,443 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

8/x² = 10/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(10/8) = 1,118

Position

x = 20/(1 + 1,118) = 9,443 cm

Antwort

x = 9,443 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,37 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Abstand und Feld einer Ladung

r = √(8² + 10²) = 12,81 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,1281² = 1,096 × 10⁶ N/C

Komponenten

Die Komponenten entlang der Mittelsenkrechten heben sich auf.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,096 × 10⁶·0,6247 = 1,37 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 1,37 × 10⁶ N/C

Das Feld zeigt parallel zur Verbindungslinie von der positiven zur negativen Ladung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 27,5 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 20 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​3 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 12 + 3 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 15·15/(15+15) = 7,5 Ω
Req = R1 + 7,5 = 20 + 7,5 = 27,5 Ω

Antwort

Req = 27,5 Ω
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,1303 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​4 ΩBR6​4 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 6 + 4 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 2,857 Ω
R3 + 2,857 = 8,857 Ω
R2 ∥ 8,857 = 6,139 Ω
Req = R1 + 6,139 = 8 + 6,139 = 14,14 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 6/14,14 = 0,4244 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,4244·8 = 2,605 V
IR2 = VA/R2 = 2,605/20 = 0,1303 A

Antwort

IR2 = 0,1303 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vL = 5,518 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 15/33 = 0,4545 A

Spulenspannung

Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/1 = 5,518 V

Antwort

vL = 5,518 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 22,23 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms
vC(t) = 24 + (10 − 24)·e−t/τ

Spannung zum gegebenen Zeitpunkt

vC(1000) = 24 + (−14)·e−1000/484 = 22,23 V

Antwort

vC = 22,23 V
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: F = 50 mN

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,25·0,8·2,5 = 0,5 V

Strom

I = ε/R = 0,5/2 = 0,25 A

Bremskraft

Lenzsche Regel: Die Kraft auf den induzierten Strom wirkt der Bewegung entgegen.

F = BIL = 0,25·0,25·0,8 = 0,05 N

Antwort

F = 50 mN
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 3,536 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Gegeninduktivität

M = 0,5·√(40·5) = 7,071 mH

Induzierte Spannung

ε = M·di/dt = 0,007071·500 = 3,536 V

Antwort

ε = 3,536 V
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = 29,19 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (11,17)²) = 22,91 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(11,17/20) = 29,19°

Antwort

φ = 29,19°
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: f0 = 355,9 Hz

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanz

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Antwort

f0 = 355,9 Hz

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