Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Ladungen von +5 µC und +4 µC sind 30 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +5 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q₁ = +5 µCq₂ = +4 µCd = 30 cm

x = cm

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 8 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 5 µC ist 10 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 3 µC 3 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 3 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 75 % seines Endwerts? Bestimme t.

V_s = 9 VR = 100 ΩL = 10 mH

t = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 18 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 12,6 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Eine Spule mit 50 Windungen hat die Fläche 150 cm². Die Spule befindet sich in einem homogenen Feld von 0,2 T senkrecht zu ihrer Ebene, und das Feld wird in 250 ms abgeschaltet. Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.

N = 50A = 150 cm²B = 0,2 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Zwei Spulen mit Selbstinduktivitäten von 10 mH und 100 mH haben einen Kopplungsfaktor von 0,5. Der Strom in der ersten Spule ändert sich mit 20 A/s. Bestimme die in der zweiten Spule induzierte Spannung ε.

L₁ = 10 mHL₂ = 100 mHk = 0,5di/dt = 20 A/s

ε = V

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 12 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 10 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 15,84 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

5/x² = 4/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(4/5) = 0,8944

Position

x = 30/(1 + 0,8944) = 15,84 cm

Antwort

x = 15,84 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 242,4 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F₁ = k·5·8 × 10⁻¹²/0,1² = 35,96 N

F₂ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,03² = 239,7 N

Vektorsumme

F = √(35,96² + 239,7²) = 242,4 N

Antwort

F = 242,4 N

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 1,034 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8,889 Ω

R_eq = R₁ + 8,889 = 4 + 8,889 = 12,89 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/12,89 = 2,328 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,328·4 = 20,69 V

I_R2 = V_A/R₂ = 20,69/20 = 1,034 A

Antwort

I_R2 = 1,034 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 17,11 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 5,935 Ω

R₃ + 5,935 = 9,935 Ω

R₂ ∥ 9,935 = 7,11 Ω

R_eq = R₁ + 7,11 = 10 + 7,11 = 17,11 Ω

Antwort

R_eq = 17,11 Ω

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 0,1386 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0,1 ms

i(∞) = V_s/R = 9/100 = 0,09 A

Nach der Zeit auflösen

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −0,1·ln(0,25) = 0,1386 ms

Antwort

t = 0,1386 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 62,31 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 9 + (18 − 9)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

12,6 = 9 + (9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,6 − 9)/(18 − 9) = 0,4

t = τ·ln((18 − 9)/(12,6 − 9)) = 68·ln(2,5) = 62,31 ms

Antwort

t = 62,31 ms

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 600 mV

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = 0,2·0,015 = 0,003 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,003/0,25 = 0,6 V

Antwort

ε = 600 mV

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 0,3162 V

Gegeninduktivität

M = 0,5·√(10·100) = 15,81 mH

Induzierte Spannung

ε = M·di/dt = 0,01581·20 = 0,3162 V

Antwort

ε = 0,3162 V

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = −77,99 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−470,1)²) = 480,6 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−470,1/100) = −77,99°

Antwort

φ = −77,99°

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,1155 A

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−82,87)²) = 86,56 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 10/86,56 = 0,1155 A

Antwort

I = 0,1155 A

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