Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von +5 µC und −1 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 10 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −1 µCr = 10 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 3 g hängen an isolierenden Fäden von 40 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 10° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 40 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme den Strom i bei t = 15 ms.

V_s = 9 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 15 ms

i = A

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 3 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 15,6 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 24 VR = 4,7 kΩC = 220 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein Draht führt einen Strom nach links durch ein homogenes Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Klicke die Richtung der magnetischen Kraft auf den Draht an.

I: nach linksB: aus der Blattebene heraus

1auf der Seite nach oben
2nach rechts
3auf der Seite nach unten
4nach links

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine Spule mit 100 Windungen, 15 cm × 10 cm, rotiert in einem homogenen Feld von 0,3 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Mit welcher Drehzahl n (in Umdrehungen pro Minute) muss sie sich drehen, um eine Effektivspannung von 29,99 V zu liefern?

N = 100A = 15 cm × 10 cmB = 0,3 TE_rms = 29,99 V

n = rpm

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 12 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung V_C am Kondensator.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 22 µF

V_C = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 3,596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (5 + −1)/2 = 2 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(2 × 10⁻⁶)²/0,1² = 3,596 N

Antwort

F = 3,596 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 105,5 nC

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 10° = 0,005189 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 10° = 0,1389 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1389·√(0,005189/8,99 × 10⁹) = 1,055 × 10⁻⁷ C = 105,5 nC

Antwort

q = 105,5 nC

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,6316 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 5·20/(5+20) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 15 + 4 = 19 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/19 = 0,7895 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,7895·15 = 3,158 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,158/5 = 0,6316 A

Antwort

I_R2 = 0,6316 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 0,4188 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 2 + 15 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 5,44 Ω

R₃ + 5,44 = 11,44 Ω

R₂ ∥ 11,44 = 6,49 Ω

R_eq = R₁ + 6,49 = 15 + 6,49 = 21,49 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/21,49 = 0,4188 A

Antwort

I_R1 = 0,4188 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,244 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 9/33 = 0,2727 A

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2727·(1 − e^−15/6,667) = 0,244 A

Antwort

i = 0,244 A

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 947,4 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 220 µF = 1034 ms

v_C(t) = 24 + (3 − 24)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

15,6 = 24 + (−21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,6 − 24)/(3 − 24) = 0,4

t = τ·ln((3 − 24)/(15,6 − 24)) = 1034·ln(2,5) = 947,4 ms

Antwort

t = 947,4 ms

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: auf der Seite nach oben

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Rechte-Hand-Regel

Zeige mit den Fingern entlang des Stroms oder der Geschwindigkeit und krümme sie zu B hin; der Daumen gibt die Kraft auf eine positive Ladung an.

I: nach links, B: aus der Blattebene heraus

Richtung der Kraft

auf der Seite nach oben

Antwort

F: auf der Seite nach oben

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: n = 900 rpm

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Scheitelspannung

E₀ = √2·E_rms = 42,41 V

Winkelgeschwindigkeit

ω = E₀/(NBA) = 42,41/(100·0,3·0,015) = 94,25 rad/s

Umdrehungen pro Minute

n = 60·94,25/(2π) = 900 rpm

Antwort

n = 900 rpm

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,3672 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (625,1)²) = 626,4 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 230/626,4 = 0,3672 A

Antwort

I = 0,3672 A

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_C = 4,234 V

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (89,49)²) = 102,5 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 12/102,5 = 0,1171 A

Spannung am Kondensator

V_C = I·X_C = 0,1171·36,17 = 4,234 V

Antwort

V_C = 4,234 V

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