Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
−−1 µC−−5 µCr = 30 cm

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von −1 µC und −5 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 30 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −1 µCq2 = −5 µCr = 30 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
L = 20 cm12°qq

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 2 g hängen an isolierenden Fäden von 20 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 12° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 20 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩIR2​AR4​10 ΩB

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAR4​3 ΩBR6​10 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 5 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 ΩR5 = 12 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​24 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung vL an der Spule bei t = 5 ms.

Vs = 24 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms
vL = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​20 Vöffnet bei t = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 3,3 kΩC220 µF+−vC​

Der Schalter ist seit Langem geschlossen, die Schaltung ist also im eingeschwungenen Zustand. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 200 ms.

Vs = 20 VR1 = 3,3 kΩR2 = 3,3 kΩC = 220 µFt = 200 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
15 A5 Ad = 4 cm

Zwei lange parallele Drähte im Abstand von 4 cm führen Ströme von 15 A und 5 A in gleicher Richtung. Bestimme die Kraft pro Meter Länge F/L zwischen ihnen.

I1 = 15 AI2 = 5 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
N1​ = 1000, l = 30 cm100 A/sN2​ = 100Mε = ?

Eine kurze Spule mit 100 Windungen ist dicht um die Mitte einer langen Spule mit 1000 Windungen, der Länge 30 cm und dem Durchmesser 3 cm gewickelt. Der Strom in der langen Spule ändert sich mit 100 A/s. Bestimme die in der kurzen Spule induzierte Spannung ε.

N1 = 1000N2 = 100l = 30 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 100 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ε = mV
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
10 V200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 47 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 10 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 47 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
120 V200 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 40 ΩC = 47 µF

Ein Widerstand R1 liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R2 und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR1 = 15 ΩR2 = 40 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (−1 + −5)/2 = −3 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0,3² = 0,899 N

Antwort

F = 0,899 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 56,64 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 12° = 0,00417 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 12° = 0,08316 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,08316·√(0,00417/8,99 × 10⁹) = 5,664 × 10⁻⁸ C = 56,64 nC

Antwort

q = 56,64 nC
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,6367 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAR4​10 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 10·13/(10+13) = 5,652 Ω
Req = R1 + 5,652 = 5 + 5,652 = 10,65 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 12/10,65 = 1,127 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1,127·5 = 6,367 V
IR2 = VA/R2 = 6,367/10 = 0,6367 A

Antwort

IR2 = 0,6367 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 22,14 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAR4​3 ΩBR6​10 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 12 + 10 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 2,64 Ω
R3 + 2,64 = 17,64 Ω
R2 ∥ 17,64 = 7,142 Ω
Req = R1 + 7,142 = 15 + 7,142 = 22,14 Ω

Antwort

Req = 22,14 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vL = 4,533 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 24/50 = 0,48 A

Spulenspannung

Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 24·e−5/3 = 4,533 V

Antwort

vL = 4,533 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 7,592 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangsspannung des Kondensators

Im eingeschwungenen Zustand ist der Kondensator ein Leerlauf, R₁ und R₂ bilden also einen Spannungsteiler. Die Kondensatorspannung kann beim Öffnen des Schalters nicht springen.

vC(0) = 20·3,3/(3,3 + 3,3) = 10 V

Zeitkonstante nach dem Öffnen des Schalters

τ = R2·C = 3,3·220 = 726 ms

Entladung

vC(t) = 10·e−200/726 = 7,592 V

Antwort

vC = 7,592 V
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: F/L = 375 µN/m

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kraft pro Meter

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·15·5/0,04 = 375 µN/m

Antwort

F/L = 375 µN/m

Ströme in gleicher Richtung ziehen sich an.

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 29,61 mV

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Gegeninduktivität

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·100·0,0007069/0,3 = 296,1 µH

Induzierte Spannung

ε = M·di/dt = 0,0002961·100 = 29,61 mV

Antwort

ε = 29,61 mV
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 0,05502 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (171,6)²) = 181,8 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 10/181,8 = 0,05502 A

Antwort

I = 0,05502 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 25,5 Ω

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Zp in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 6,078 − j14,36 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 15 + 6,078 − j14,36 = 21,08 − j14,36 Ω
|Z| = √(21,08² + 14,36²) = 25,5 Ω

Antwort

|Z| = 25,5 Ω

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