Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++4 µC++5 µCE = 040 cm

Ladungen von +4 µC und +5 µC sind 40 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +4 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q1 = +4 µCq2 = +5 µCd = 40 cm
x = cm
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
+ + + + + +− − − − − −e⁻2,5 × 10⁷ m/s5 cmE = 4700 N/C

Ein Elektron tritt mit 2,5 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 5 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 4700 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.

v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 4700 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​12 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAR4​4 ΩBR6​30 Ω

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 36 VR1 = 5 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 ΩR5 = 30 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​5 Vt = 0R = 47 ΩL47 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 75 % seines Endwerts? Bestimme t.

Vs = 5 VR = 47 ΩL = 47 mH
t = ms
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​20 Vt = 0R = 3,3 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 5 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 15,5 V erreicht? Bestimme t.

Vs = 20 VR = 3,3 kΩC = 22 µFvC(0) = 5 V
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
+v = 6 × 10⁶ m/sr = ?B = 0,4 T

Ein Proton bewegt sich mit 6 × 10⁶ m/s senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld von 0,4 T. Bestimme den Radius r seiner Kreisbahn.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 0,4 T
r = cm
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
L = 200 mH0,5 → 2 A

Der Strom in einer 200-mH-Induktivität ändert sich in 10 ms gleichmäßig von 0,5 A auf 2 A. Bestimme den Betrag der Selbstinduktionsspannung ε.

L = 200 mH0,5 A → 2 AΔt = 10 ms
ε = V
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
100 V100 HzR = 30 ΩC = 100 µFI

Ein Widerstand und ein Kondensator liegen parallel an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Betrag der Impedanz |Z|.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
2 Vf0​R = 15 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Ein RLC-Reihenschwingkreis wird von einer Quelle mit 2 V (Effektivwert) gespeist, deren Frequenz auf die Resonanzfrequenz der Schaltung eingestellt ist. Bestimme die Effektivspannung VL an der Spule.

V = 2 V (rms)R = 15 ΩL = 200 mHC = 1 µF
VL = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 18,89 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

4/x² = 5/(40 − x)²
(40 − x)/x = √(5/4) = 1,118

Position

x = 40/(1 + 1,118) = 18,89 cm

Antwort

x = 18,89 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: y = 1,653 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Zeit zwischen den Platten

t = L/v₀ = 0,05/2,5 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Seitliche Beschleunigung

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4700/9,109 × 10⁻³¹ = 8,266 × 10¹⁴ m/s²

Durchbiegung

y = ½·a·t² = ½·8,266 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,001653 m = 1,653 mm

Antwort

y = 1,653 mm

Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,85 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​2 ΩAR4​12 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 3 + 12 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω
Req = R1 + 1,765 = 10 + 1,765 = 11,76 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 10/11,76 = 0,85 A

Antwort

IR1 = 0,85 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 5,463 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAR4​4 ΩBR6​30 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 30 + 30 = 60 Ω
R4 ∥ 60 = 3,75 Ω
R3 + 3,75 = 7,75 Ω
R2 ∥ 7,75 = 1,59 Ω
Req = R1 + 1,59 = 5 + 1,59 = 6,59 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 36/6,59 = 5,463 A

Antwort

IR1 = 5,463 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 1,386 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 5/47 = 0,1064 A

Nach der Zeit auflösen

0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −1·ln(0,25) = 1,386 ms

Antwort

t = 1,386 ms
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 87,41 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 22 µF = 72,6 ms
vC(t) = 20 + (5 − 20)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

15,5 = 20 + (−15)·e−t/τ → e−t/τ = (15,5 − 20)/(5 − 20) = 0,3
t = τ·ln((5 − 20)/(15,5 − 20)) = 72,6·ln(3,333) = 87,41 ms

Antwort

t = 87,41 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 15,66 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Kräftegleichgewicht

Die magnetische Kraft steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit, sie krümmt die Bahn also zu einem Kreis.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Radius

r = 1,673 × 10⁻²⁷·6 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,1566 m = 15,66 cm

Antwort

r = 15,66 cm
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 30 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Selbstinduktionsspannung

Die Spannung wirkt der Stromänderung entgegen (Lenz), ihr Vorzeichen ist also dem von ΔI entgegengesetzt; der Betrag ist L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,2·1,5/0,01 = 30 V

Antwort

ε = 30 V
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: |Z| = 14,06 Ω

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Zweigströme

Beide Zweige liegen direkt an der Versorgung, jeder sieht also die volle Spannung V.

IR = V/R = 100/30 = 3,333 A
IX = V/XC = 100/15,92 = 6,283 A

Gesamtstrom

Der Strom im Widerstand ist in Phase mit V, der Blindstrom um 90° verschoben, sie addieren sich also wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

I = √(IR² + IX²) = √(3,333² + 6,283²) = 7,113 A

Impedanz

|Z| = V/I = 100/7,113 = 14,06 Ω

Antwort

|Z| = 14,06 Ω
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: VL = 59,63 V

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanz

Bei Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf, die Impedanz ist also nur R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s
I = V/R = 2/15 = 0,1333 A

Spannung an der Spule

XL = ω₀L = 2236·0,2 = 447,2 Ω
VL = I·XL = 0,1333·447,2 = 59,63 V

Antwort

VL = 59,63 V

Das ist das Q = 29,81-Fache der Versorgungsspannung.

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