Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Ladungen von +4 µC und +6 µC sind 80 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +4 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q₁ = +4 µCq₂ = +6 µCd = 80 cm

x = cm

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 8 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 4 µC ist 10 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 1 µC 4 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 1 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung v_C bei t = 200 ms.

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 47 µFt = 200 ms

v_C = V

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter ist seit Langem geschlossen, die Schaltung ist also im eingeschwungenen Zustand. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme die Kondensatorspannung v_C bei t = 750 ms.

V_s = 30 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 220 µFt = 750 ms

v_C = V

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein Elektron bewegt sich nach links durch ein homogenes Magnetfeld, das in die Blattebene hinein zeigt. Klicke die Richtung der magnetischen Kraft auf es an.

v: nach linksB: in die Blattebene hinein

1auf der Seite nach oben
2nach rechts
3auf der Seite nach unten
4nach links

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Ein Proton startet aus der Ruhe, wird durch eine Potenzialdifferenz von 2500 V beschleunigt und tritt dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld von 0,8 T ein. Bestimme den Radius r seiner Bahn im Feld.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,8 T

r = cm

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung V_C am Kondensator.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 35,96 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

4/x² = 6/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(6/4) = 1,225

Position

x = 80/(1 + 1,225) = 35,96 cm

Antwort

x = 35,96 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 53,37 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F₁ = k·4·8 × 10⁻¹²/0,1² = 28,77 N

F₂ = k·1·8 × 10⁻¹²/0,04² = 44,95 N

Vektorsumme

F = √(28,77² + 44,95²) = 53,37 N

Antwort

F = 53,37 N

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 0,8291 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 15 + 10 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 8·25/(8+25) = 6,061 Ω

R_eq = R₁ + 6,061 = 6 + 6,061 = 12,06 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/12,06 = 0,8291 A

Antwort

I_R1 = 0,8291 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 0,7413 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 15 + 5 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 4 Ω

R₃ + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8,235 Ω

R_eq = R₁ + 8,235 = 12 + 8,235 = 20,24 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/20,24 = 0,7413 A

Antwort

I_R1 = 0,7413 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_C = 6,104 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um R_th zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·3,3/(10 + 3,3) = 2,481 kΩ

v_C(∞) = 30·3,3/(10 + 3,3) = 7,444 V

Zeitkonstante

τ = R_th·C = 2,481·47 = 116,6 ms

Ladekurve

v_C(t) = 7,444·(1 − e^−200/116,6) = 6,104 V

Antwort

v_C = 6,104 V

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_C = 19,39 V

Anfangsspannung des Kondensators

Im eingeschwungenen Zustand ist der Kondensator ein Leerlauf, R₁ und R₂ bilden also einen Spannungsteiler. Die Kondensatorspannung kann beim Öffnen des Schalters nicht springen.

v_C(0) = 30·10/(1 + 10) = 27,27 V

Zeitkonstante nach dem Öffnen des Schalters

τ = R₂·C = 10·220 = 2200 ms

Entladung

v_C(t) = 27,27·e^−750/2200 = 19,39 V

Antwort

v_C = 19,39 V

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: auf der Seite nach oben

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Rechte-Hand-Regel

Zeige mit den Fingern entlang des Stroms oder der Geschwindigkeit und krümme sie zu B hin; der Daumen gibt die Kraft auf eine positive Ladung an.

v: nach links, B: in die Blattebene hinein

Negative Ladung

Die Kraft auf ein Elektron ist der auf eine positive Ladung entgegengesetzt.

Richtung der Kraft

auf der Seite nach oben

Antwort

F: auf der Seite nach oben

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 0,9033 cm

Geschwindigkeit nach der Beschleunigung

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2500/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 691940 m/s

Radius im Feld

r = mv/(|q|B) = 0,009033 m = 0,9033 cm

Antwort

r = 0,9033 cm

Zusammengefasst: r = √(2mV/|q|)/B, schwerere Ionen gleicher Ladung bewegen sich also auf größeren Kreisen; so werden Isotope getrennt.

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 1,678 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−64,91)²) = 71,5 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 120/71,5 = 1,678 A

Antwort

I = 1,678 A

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_C = 104,6 V

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−645,8)²) = 647,8 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 100/647,8 = 0,1544 A

Spannung am Kondensator

V_C = I·X_C = 0,1544·677,3 = 104,6 V

Antwort

V_C = 104,6 V

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