Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++10 µC++4 µCP20 cm

Eine Ladung von +10 µC und eine Ladung von +4 µC sind 20 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 5 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q1 = +10 µCq2 = +4 µCr1 = 5 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
4 cm4 cm+q1​ = +3 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +10 µC

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 1 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 3 µC ist 4 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 10 µC 4 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q1 = 3 µCq2 = 10 µCq3 = 1 µCr13 = 4 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​15 ΩBR6​8 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 15 ΩR5 = 6 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​10 Vt = 0R = 5 ΩL10 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die in der Spule gespeicherte Energie W(∞), wenn sich die Schaltung eingeschwungen hat, in mJ.

Vs = 10 VR = 5 ΩL = 10 mH
W(∞) = mJ
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​10 Vt = 0R = 6,8 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 18 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 1000 ms.

Vs = 10 VR = 6,8 kΩC = 220 µFvC(0) = 18 Vt = 1000 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
vI = ?

Eine quadratische Schleife bewegt sich nach rechts in einen Bereich mit einem homogenen Magnetfeld, das aus der Blattebene heraus zeigt. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen, während die Schleife in das Feld eintritt.

B: aus der Blattebene herausbeim Eintritt in das Feld
  1. 1im Uhrzeigersinn
  2. 2gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
L = 10 mH3 → 2 A

Der Strom in einer 10-mH-Induktivität ändert sich in 50 ms gleichmäßig von 3 A auf 2 A. Bestimme den Betrag der Selbstinduktionsspannung ε.

L = 10 mH3 A → 2 AΔt = 50 ms
ε = V
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
24 V200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme die aus der Versorgung aufgenommene Wirkleistung P.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF
P = W
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
VfR = 50 ΩL = 10 mHC = 0,22 µF

Ein RLC-Reihenschwingkreis hat R = 50 Ω, L = 10 mH und C = 0,22 µF. Bestimme seine Bandbreite B (die Breite des Bands zwischen den Halbleistungsfrequenzen) in Hz.

R = 50 ΩL = 10 mHC = 0,22 µF
B = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 3,436 × 10⁷ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁷ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0,15² = 1,598 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Beide Ladungen sind positiv: In P zeigen ihre Felder jeweils von ihrer Ladung weg, also in entgegengesetzte Richtungen.

E = |3,596 × 10⁷ − 1,598 × 10⁶| = 3,436 × 10⁷ N/C

Antwort

E = 3,436 × 10⁷ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 58,66 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F1 = k·3·1 × 10⁻¹²/0,04² = 16,86 N
F2 = k·10·1 × 10⁻¹²/0,04² = 56,19 N

Vektorsumme

F = √(16,86² + 56,19²) = 58,66 N

Antwort

F = 58,66 N
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,96 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 15 + 5 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
Req = R1 + 4,615 = 5 + 4,615 = 9,615 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 12/9,615 = 1,248 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1,248·5 = 5,76 V
IR2 = VA/R2 = 5,76/6 = 0,96 A

Antwort

IR2 = 0,96 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 12,33 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​15 ΩBR6​8 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 6 + 8 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 7,241 Ω
R3 + 7,241 = 27,24 Ω
R2 ∥ 27,24 = 8,33 Ω
Req = R1 + 8,33 = 4 + 8,33 = 12,33 Ω

Antwort

Req = 12,33 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: W(∞) = 20 mJ

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 10 mH / 5 Ω = 2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/5 = 2 A

Gespeicherte Energie

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·2² = 20 mJ

Antwort

W(∞) = 20 mJ
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 14,1 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 220 µF = 1496 ms
vC(t) = 10 + (18 − 10)·e−t/τ

Spannung zum gegebenen Zeitpunkt

vC(1000) = 10 + (8)·e−1000/1496 = 14,1 V

Antwort

vC = 14,1 V
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: im Uhrzeigersinn

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung

Der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt zu, oder der Fluss in die Blattebene hinein nimmt ab.

Feld des induzierten Stroms

Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.

Induziertes Feld im Inneren der Schleife: in die Blattebene hinein.

Richtung des Stroms

Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.

im Uhrzeigersinn

Antwort

im Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 0,2 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Selbstinduktionsspannung

Die Spannung wirkt der Stromänderung entgegen (Lenz), ihr Vorzeichen ist also dem von ΔI entgegengesetzt; der Betrag ist L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,01·1/0,05 = 0,2 V

Antwort

ε = 0,2 V
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: P = 0,7171 W

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

XL = 125,7 Ω, XC = 16,93 Ω

Impedanz

|Z| = √(15² + (108,7)²) = 109,8 Ω

Wirkleistung

Spulen und Kondensatoren speichern Energie nur und geben sie zurück; der Widerstand nimmt die gesamte Wirkleistung auf.

I = 24/109,8 = 0,2187 A
P = I²·R = 0,2187²·15 = 0,7171 W

Antwort

P = 0,7171 W
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: B = 795,8 Hz

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzfrequenz

f0 = 1/(2π·√(0,01·0,22·10⁻⁶)) = 3393 Hz

Güte

Die Güte vergleicht den Blindwiderstand bei Resonanz mit dem Widerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,01/(0,22·10⁻⁶)) = 4,264

Bandbreite

B = f0/Q = 3393/4,264 = 795,8 Hz

Antwort

B = 795,8 Hz

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