Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von −2 µC und −5 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 40 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −2 µCq₂ = −5 µCr = 40 cm

F = N

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ein Elektron tritt mit 1 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 6 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 4500 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 4500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 30 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt einen konstanten Strom von 0,5 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Bestimme den Strom i bei t = 1 ms.

i(0) = 0,5 AR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Ein Zeitglied beginnt bei t = 0, einen ungeladenen Kondensator über einen Widerstand aus einer 9-V-Versorgung zu laden. Es soll auslösen, wenn die Kondensatorspannung 7,2 V erreicht, genau 250 ms nach dem Start. Bestimme mit C = 10 µF den nötigen Widerstand R.

V_s = 9 VV_th = 7,2 VT = 250 msC = 10 µF

R = kΩ

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein 80 cm langer Metallstab gleitet mit 2,5 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,4 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Die Schienen sind durch einen Widerstand von 0,5 Ω verbunden; Stab und Schienen haben vernachlässigbaren Widerstand. Bestimme die im Widerstand umgesetzte Leistung P.

B = 0,4 TL = 80 cmv = 2,5 m/sR = 0,5 Ω

P = W

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Der Strom in einer 5-mH-Induktivität ändert sich in 2 ms gleichmäßig von 1 A auf 6 A. Bestimme den Betrag der Selbstinduktionsspannung ε.

L = 5 mH1 A → 6 AΔt = 2 ms

ε = V

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Leistungsfaktor cos φ der Schaltung.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µF

cos φ =

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis hat R = 50 Ω, L = 5 mH und C = 0,47 µF. Bestimme seine Bandbreite B (die Breite des Bands zwischen den Halbleistungsfrequenzen) in Hz.

R = 50 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

B = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 0,6883 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (−2 + −5)/2 = −3,5 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,6883 N

Antwort

F = 0,6883 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: y = 14,25 mm

Zeit zwischen den Platten

t = L/v₀ = 0,06/1 × 10⁷ = 6 × 10⁻⁹ s

Seitliche Beschleunigung

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4500/9,109 × 10⁻³¹ = 7,914 × 10¹⁴ m/s²

Durchbiegung

y = ½·a·t² = ½·7,914 × 10¹⁴·(6 × 10⁻⁹)² = 0,01425 m = 14,25 mm

Antwort

y = 14,25 mm

Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 0,9764 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7,241 Ω

R_eq = R₁ + 7,241 = 3 + 7,241 = 10,24 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/10,24 = 0,9764 A

Antwort

I_R1 = 0,9764 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 0,4923 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 4 + 8 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 4 Ω

R₃ + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 7,742 Ω

R_eq = R₁ + 7,742 = 30 + 7,742 = 37,74 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/37,74 = 0,9538 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 0,9538·30 = 7,385 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,385/15 = 0,4923 A

Antwort

I_R2 = 0,4923 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,1203 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

Abklingen des Stroms

i(t) = 0,5·e^−1/0,7021 = 0,1203 A

Antwort

i = 0,1203 A

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: R = 15,53 kΩ

Erforderliche Zeitkonstante

7,2 = 9·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(9/(9 − 7,2))

τ = 250/1,609 = 155,3 ms

Widerstand

kΩ mal µF ergibt Millisekunden.

R = τ/C = 155,3/10 = 15,53 kΩ

Antwort

R = 15,53 kΩ

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: P = 1,28 W

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,4·0,8·2,5 = 0,8 V

Strom

I = ε/R = 0,8/0,5 = 1,6 A

Leistung

P = εI = 0,8·1,6 = 1,28 W

Antwort

P = 1,28 W

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 12,5 V

Selbstinduktionsspannung

Die Spannung wirkt der Stromänderung entgegen (Lenz), ihr Vorzeichen ist also dem von ΔI entgegengesetzt; der Betrag ist L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,005·5/0,002 = 12,5 V

Antwort

ε = 12,5 V

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: cos φ = 0,5421

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

X_L = 31,42 Ω, X_C = 15,92 Ω

Impedanz

|Z| = √(10² + (15,5)²) = 18,45 Ω

Leistungsfaktor

cos φ = R/|Z| = 10/18,45 = 0,5421

Die Schaltung ist induktiv, der Leistungsfaktor ist also induktiv (nacheilend).

Antwort

cos φ = 0,5421

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: B = 1592 Hz

Resonanzfrequenz

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,47·10⁻⁶)) = 3283 Hz

Güte

Die Güte vergleicht den Blindwiderstand bei Resonanz mit dem Widerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,005/(0,47·10⁻⁶)) = 2,063

Bandbreite

B = f₀/Q = 3283/2,063 = 1592 Hz

Antwort

B = 1592 Hz

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