Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz: F = k·|q₁q₂|/r²
Feld einer Punktladung: E = k·|q|/r²
Konstante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung: F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht: B = μ₀I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule: B = μ₀NI/(2R)
Lange Spule: B = μ₀nI, n = N/L
Konstante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht: F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung: F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluss: Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz: ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induktivität: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel

Eine Ladung von +6 µC und eine Ladung von −5 µC sind 30 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 7,5 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q₁ = +6 µCq₂ = −5 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 22,5 cm

E = N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer

Ein Elektron tritt mit 1 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 6 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 900 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 900 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Zeitkonstante τ der Schaltung nach dem Schließen des Schalters.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 220 µF

τ = ms

6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 2 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 7,2 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 15 VR = 10 kΩC = 22 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Magnetfelder & InduktionMittel

Ein 80 cm langer Metallstab gleitet mit 2 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 1 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Die Schienen sind durch einen Widerstand von 8 Ω verbunden; Stab und Schienen haben vernachlässigbaren Widerstand. Bestimme die Kraft F, die nötig ist, um den Stab mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen (keine Reibung).

B = 1 TL = 80 cmv = 2 m/sR = 8 Ω

F = mN

8.Magnetfelder & InduktionSchwer

Eine Spule mit 20 Windungen, 10 cm × 5 cm, rotiert mit 3600 U/min in einem homogenen Feld von 0,4 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Bestimme den Effektivwert E_rms der Spannung.

N = 20A = 10 cm × 5 cmB = 0,4 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Ein Widerstand und ein Kondensator liegen parallel an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩC = 22 µF

φ = °

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein Widerstand R₁ liegt in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R₂ und einem Kondensator C an einer Versorgung mit 100 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 30 ΩC = 47 µF

I = A

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 1,048 × 10⁷ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,075² = 9,589 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,225² = 887901 N/C

Richtungen und Summe

Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.

E = |9,589 × 10⁶ + 887901| = 1,048 × 10⁷ N/C

Antwort

E = 1,048 × 10⁷ N/C

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: y = 2,849 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Zeit zwischen den Platten

t = L/v₀ = 0,06/1 × 10⁷ = 6 × 10⁻⁹ s

Seitliche Beschleunigung

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·900/9,109 × 10⁻³¹ = 1,583 × 10¹⁴ m/s²

Durchbiegung

y = ½·a·t² = ½·1,583 × 10¹⁴·(6 × 10⁻⁹)² = 0,002849 m = 2,849 mm

Antwort

y = 2,849 mm

Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 1,234 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 4 + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω

R_eq = R₁ + 4,444 = 15 + 4,444 = 19,44 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/19,44 = 1,234 A

Antwort

I_R1 = 1,234 A

4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 2,09 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 15 + 15 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 2,727 Ω

R₃ + 2,727 = 8,727 Ω

R₂ ∥ 8,727 = 2,743 Ω

R_eq = R₁ + 2,743 = 3 + 2,743 = 5,743 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/5,743 = 2,09 A

Antwort

I_R1 = 2,09 A

5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: τ = 703,4 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um R_th zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 kΩ

v_C(∞) = 15·4,7/(10 + 4,7) = 4,796 V

Zeitkonstante

τ = R_th·C = 3,197·220 = 703,4 ms

Antwort

τ = 703,4 ms

6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 112,4 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms

v_C(t) = 15 + (2 − 15)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

7,2 = 15 + (−13)·e^−t/τ → e^−t/τ = (7,2 − 15)/(2 − 15) = 0,6

t = τ·ln((2 − 15)/(7,2 − 15)) = 220·ln(1,667) = 112,4 ms

Antwort

t = 112,4 ms

7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: F = 160 mN

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 1·0,8·2 = 1,6 V

Strom

I = ε/R = 1,6/8 = 0,2 A

Bremskraft

Lenzsche Regel: Die Kraft auf den induzierten Strom wirkt der Bewegung entgegen.

F = BIL = 1·0,2·0,8 = 0,16 N

Antwort

F = 160 mN

8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: E_rms = 10,66 V

Winkelgeschwindigkeit und Fläche

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,005 m²

Scheitelspannung

E₀ = NBAω = 20·0,4·0,005·377 = 15,08 V

Effektivwert

E_rms = 15,08/√2 = 10,66 V

Antwort

E_rms = 10,66 V

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = −28,94 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstand

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Zweigströme

Beide Zweige liegen direkt an der Versorgung, jeder sieht also die volle Spannung V.

I_R = V/R = 50/80 = 0,625 A

I_X = V/X_C = 50/144,7 = 0,3456 A

Gesamtstrom

Der Strom im Widerstand ist in Phase mit V, der Blindstrom um 90° verschoben, sie addieren sich also wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,625² + 0,3456²) = 0,7142 A

Phasenwinkel

Der Kondensatorstrom eilt V voraus, der Gesamtstrom eilt also voraus, und der Winkel ist negativ.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,3456/0,625) = −28,94°

Antwort

φ = −28,94°

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 1,703 A

Blindwiderstand

X_C = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Parallelschaltung

Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugiert Komplexen, um Z_p in Real- und Imaginärteil zu zerlegen.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 16,81 − j14,89 Ω

Gesamtimpedanz

Z = 40 + 16,81 − j14,89 = 56,81 − j14,89 Ω

|Z| = √(56,81² + 14,89²) = 58,73 Ω

Strom

I = V/|Z| = 100/58,73 = 1,703 A

Antwort

I = 1,703 A

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