Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++3 µC−−1 µCr = 10 cm

Zwei gleiche kleine Metallkugeln tragen Ladungen von +3 µC und −1 µC. Sie werden zusammengebracht und dann wieder in 10 cm Abstand gebracht. Bestimme den Betrag der Kraft F zwischen ihnen jetzt. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +3 µCq2 = −1 µCr = 10 cm
F = N
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
+ + + + + +− − − − − −e⁻1 × 10⁷ m/s5 cmE = 4900 N/C

Ein Elektron tritt mit 1 × 10⁷ m/s parallel zu zwei parallelen Platten in das homogene Feld zwischen ihnen ein. Die Platten sind 5 cm lang, und das Feld zwischen ihnen beträgt 4900 N/C. Elektronenladung 1,602 × 10⁻¹⁹ C, Masse 9,109 × 10⁻³¹ kg; vernachlässige die Schwerkraft. Wie weit y wird es seitlich abgelenkt, wenn es die Platten verlässt? Gib das Ergebnis in mm an.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 4900 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​4 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 ΩR5 = 2 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​15 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 6,8 kΩC220 µF+−vC​

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Zeitkonstante τ der Schaltung nach dem Schließen des Schalters.

Vs = 15 VR1 = 1 kΩR2 = 6,8 kΩC = 220 µF
τ = ms
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​10 Vt = 0R = 4,7 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 5 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 8 V erreicht? Bestimme t.

Vs = 10 VR = 4,7 kΩC = 22 µFvC(0) = 5 V
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
R = 5 Ωv = 1 m/sL = 20 cmB = 0,2 T

Ein 20 cm langer Metallstab gleitet mit 1 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,2 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Die Schienen sind durch einen Widerstand von 5 Ω verbunden; Stab und Schienen haben vernachlässigbaren Widerstand. Bestimme den Strom I.

B = 0,2 TL = 20 cmv = 1 m/sR = 5 Ω
I = mA
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
L = 100 mH3 → 2 A

Der Strom in einer 100-mH-Induktivität ändert sich in 5 ms gleichmäßig von 3 A auf 2 A. Bestimme den Betrag der Selbstinduktionsspannung ε.

L = 100 mH3 A → 2 AΔt = 5 ms
ε = V
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
120 V60 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
VfR = 50 ΩL = 10 mHC = 0,022 µF

Ein RLC-Reihenschwingkreis hat R = 50 Ω, L = 10 mH und C = 0,022 µF. Bestimme seine Güte Q bei Resonanz.

R = 50 ΩL = 10 mHC = 0,022 µF
Q =

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ladung nach dem Berühren

q′ = (3 + −1)/2 = 1 µC

Neue Kraft

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,1² = 0,899 N

Antwort

F = 0,899 N

Beide Kugeln tragen jetzt dasselbe Vorzeichen, sie stoßen sich also ab.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: y = 10,77 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Zeit zwischen den Platten

t = L/v₀ = 0,05/1 × 10⁷ = 5 × 10⁻⁹ s

Seitliche Beschleunigung

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4900/9,109 × 10⁻³¹ = 8,618 × 10¹⁴ m/s²

Durchbiegung

y = ½·a·t² = ½·8,618 × 10¹⁴·(5 × 10⁻⁹)² = 0,01077 m = 10,77 mm

Antwort

y = 10,77 mm

Das Elektron wird zur positiven Platte gedrückt, entgegen der Feldrichtung.

3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 11,09 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​12 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 2 + 12 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5,091 Ω
Req = R1 + 5,091 = 6 + 5,091 = 11,09 Ω

Antwort

Req = 11,09 Ω
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 7,646 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​4 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 2 + 4 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 2,4 Ω
R3 + 2,4 = 22,4 Ω
R2 ∥ 22,4 = 2,646 Ω
Req = R1 + 2,646 = 5 + 2,646 = 7,646 Ω

Antwort

Req = 7,646 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: τ = 191,8 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·6,8/(1 + 6,8) = 0,8718 kΩ
vC(∞) = 15·6,8/(1 + 6,8) = 13,08 V

Zeitkonstante

τ = Rth·C = 0,8718·220 = 191,8 ms

Antwort

τ = 191,8 ms
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 94,74 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms
vC(t) = 10 + (5 − 10)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

8 = 10 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (8 − 10)/(5 − 10) = 0,4
t = τ·ln((5 − 10)/(8 − 10)) = 103,4·ln(2,5) = 94,74 ms

Antwort

t = 94,74 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: I = 8 mA

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,2·0,2·1 = 0,04 V

Strom

I = ε/R = 0,04/5 = 0,008 A

Antwort

I = 8 mA
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 20 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Selbstinduktionsspannung

Die Spannung wirkt der Stromänderung entgegen (Lenz), ihr Vorzeichen ist also dem von ΔI entgegengesetzt; der Betrag ist L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,1·1/0,005 = 20 V

Antwort

ε = 20 V
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = −85,81 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−545,5)²) = 547 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−545,5/40) = −85,81°

Antwort

φ = −85,81°
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: Q = 13,48

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanzfrequenz

f0 = 1/(2π·√(0,01·0,022·10⁻⁶)) = 10730 Hz

Güte

Die Güte vergleicht den Blindwiderstand bei Resonanz mit dem Widerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,01/(0,022·10⁻⁶)) = 13,48

Antwort

Q = 13,48

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