Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++6 µC++10 µCE = 080 cm

Ladungen von +6 µC und +10 µC sind 80 cm voneinander entfernt. In welchem Abstand x von der Ladung +6 µC ist das elektrische Feld auf der Verbindungslinie null?

q1 = +6 µCq2 = +10 µCd = 80 cm
x = cm
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
L = 30 cm20°qq

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 10 g hängen an isolierenden Fäden von 30 cm Länge am selben Punkt. Sie erhalten gleiche Ladungen, und jeder Faden stellt sich unter 20° gegen die Vertikale ein. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Ladung q jeder Kugel in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 30 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩIR2​AR4​12 ΩB

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​8 Ω

Bestimme den Strom IR2 durch R2.

V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 25 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 ΩR5 = 12 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​10 Vt = 0R = 68 ΩL100 mHi(t)

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Spannung vL an der Spule bei t = 1 ms.

Vs = 10 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​20 VR1​ = 33 ΩR2​ = 15 Ωöffnet bei t = 0L47 mHi(t)

Der Schalter parallel zu R2 ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Wie lange nach t = 0 erreicht der Spulenstrom 0,511 A? Bestimme t.

Vs = 20 VR1 = 33 ΩR2 = 15 ΩL = 47 mH
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
R = 2 Ωv = 1 m/sL = 25 cmB = 0,4 T

Ein 25 cm langer Metallstab gleitet mit 1 m/s auf zwei Schienen in einem homogenen Feld von 0,4 T, das in die Blattebene hinein gerichtet ist. Bestimme die induzierte Spannung ε zwischen seinen Enden.

B = 0,4 TL = 25 cmv = 1 m/s
ε = mV
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
V = 500 VB = 0,2 Tr = ?

Ein Proton startet aus der Ruhe, wird durch eine Potenzialdifferenz von 500 V beschleunigt und tritt dann senkrecht in ein homogenes Magnetfeld von 0,2 T ein. Bestimme den Radius r seiner Bahn im Feld.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0,2 T
r = cm
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
230 V60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 100 µFI

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 100 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
10 V500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 10 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
f0 = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: x = 34,92 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Gleiche Felder

6/x² = 10/(80 − x)²
(80 − x)/x = √(10/6) = 1,291

Position

x = 80/(1 + 1,291) = 34,92 cm

Antwort

x = 34,92 cm

Der Nullpunkt liegt immer näher an der kleineren Ladung.

2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: q = 409 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Elektrische Kraft aus dem Gleichgewicht

Der waagerechte Anteil der Fadenkraft hält F das Gleichgewicht, ihr senkrechter Anteil m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 20° = 0,03571 N

Abstand

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 20° = 0,2052 m

Ladung

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2052·√(0,03571/8,99 × 10⁹) = 4,09 × 10⁻⁷ C = 409 nC

Antwort

q = 409 nC
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,6207 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​12 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 6 + 12 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 5·18/(5+18) = 3,913 Ω
Req = R1 + 3,913 = 15 + 3,913 = 18,91 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 15/18,91 = 0,7931 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0,7931·15 = 3,103 V
IR2 = VA/R2 = 3,103/5 = 0,6207 A

Antwort

IR2 = 0,6207 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR2 = 0,5827 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​25 ΩAR4​2 ΩBR6​8 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 12 + 8 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 1,818 Ω
R3 + 1,818 = 5,818 Ω
R2 ∥ 5,818 = 4,72 Ω
Req = R1 + 4,72 = 5 + 4,72 = 9,72 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 30/9,72 = 3,086 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 3,086·5 = 14,57 V
IR2 = VA/R2 = 14,57/25 = 0,5827 A

Antwort

IR2 = 0,5827 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vL = 5,066 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms
i(∞) = Vs/R = 10/68 = 0,1471 A

Spulenspannung

Bei t = 0 liegt die ganze Versorgungsspannung an der Spule; danach fällt sie auf null ab.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−1/1,471 = 5,066 V

Antwort

vL = 5,066 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 0,6825 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 20/33 = 0,6061 A
i(∞) = 20/(33 + 15) = 0,4167 A
τ = L/R = 47/48 = 0,9792 ms
i(t) = 0,4167 + (0,6061 − 0,4167)·e−t/τ

Nach der Zeit auflösen

e−t/τ = (0,511 − 0,4167)/(0,6061 − 0,4167) = 0,4981
t = 0,9792·ln(2,008) = 0,6825 ms

Antwort

t = 0,6825 ms
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 100 mV

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Bewegungsinduktion

ε = BLv = 0,4·0,25·1 = 0,1 V

Antwort

ε = 100 mV
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: r = 1,616 cm

Magnetische Kräfte: Ein gerader Draht mit Strom I in einem Feld B erfährt F = BIL·sin θ, und eine bewegte Ladung F = |q|vB·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen dem Strom (oder der Geschwindigkeit) und B ist. Die Kraft steht senkrecht auf beiden: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang I oder v, krümme sie zu B hin, und der Daumen gibt F für eine positive Ladung an; bei einer negativen Ladung kehre es um. Da F senkrecht auf v steht, bewegt sich eine Ladung quer zu einem homogenen Feld auf einem Kreis: |q|vB = mv²/r ergibt r = mv/(|q|B) und die Umlaufzeit T = 2πm/(|q|B), die nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Zwei parallele Drähte ziehen sich bei Strömen in gleicher Richtung an: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Geschwindigkeit nach der Beschleunigung

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·500/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 309445 m/s

Radius im Feld

r = mv/(|q|B) = 0,01616 m = 1,616 cm

Antwort

r = 1,616 cm

Zusammengefasst: r = √(2mV/|q|)/B, schwerere Ionen gleicher Ladung bewegen sich also auf größeren Kreisen; so werden Isotope getrennt.

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 2,692 A

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (30,02)²) = 85,45 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 230/85,45 = 2,692 A

Antwort

I = 2,692 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: f0 = 519,1 Hz

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanz

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·4,7·10⁻⁶)) = 519,1 Hz

Antwort

f0 = 519,1 Hz

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