Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
- Coulombsches Gesetz
- F = k·|q1q2|/r²
- Feld einer Punktladung
- E = k·|q|/r²
- Konstante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Kraft auf eine Ladung
- F = q·E
Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Reihen- und Parallelschaltung
- Widerstände in Reihe
- Req = R1 + R2 + …
- Widerstände parallel
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Zwei parallel
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ohmsches Gesetz
- V = I·R
- Leistung
- P = V·I = I²R = V²/R
Methode
- Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
- Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
- Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
- Zeitkonstante
- τ = RC | τ = L/R
- Antwort
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensator bei Gleichstrom
- Leerlauf; vC kann nicht springen
- Spule bei Gleichstrom
- Kurzschluss; iL kann nicht springen
- Eingeschwungen
- t ≈ 5τ
Methode
- Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
- Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
- Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
- Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetfelder & Induktion
- Langer gerader Draht
- B = μ0I/(2πr)
- Mittelpunkt einer flachen Spule
- B = μ0NI/(2R)
- Lange Spule
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Kraft auf einen Draht
- F = BIL·sin θ
- Kraft auf eine Ladung
- F = |q|vB·sin θ
- Kreisbewegung
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Parallele Drähte
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluss
- Φ = BA·cos θ
- Faradaysches Induktionsgesetz
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Bewegter Stab
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktivität
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Gegeninduktivität
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Methode
- Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
- Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
- Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
- Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.
Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
- Impedanzen
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kreisfrequenz
- ω = 2πf
- Betrag und Winkel
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ohmsches Gesetz mit Zeigern
- V = I·Z
Methode
- Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
- Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
- Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
- Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.
2Übungsaufgaben
1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
Eine Ladung von +6 µC und eine Ladung von −8 µC sind 20 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 10 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.
q1 = +6 µCq2 = −8 µCr1 = 10 cmr2 = 10 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
Ladungen von +2 µC und +2 µC sind 12 cm voneinander entfernt. Punkt P liegt 6 cm vom Mittelpunkt zwischen ihnen entfernt auf der Mittelsenkrechten. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +2 µCq2 = +2 µCd = 12 cmh = 6 cm
E = N/C
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.
V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
Bestimme den Strom IR2 durch R2.
V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 ΩR4 = 2 ΩR5 = 10 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Zeitkonstante τ der Schaltung nach dem Schließen des Schalters.
Vs = 24 VR1 = 1 kΩR2 = 2,2 kΩC = 10 µF
τ = ms
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 3 V mit der eingezeichneten Polarität. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 200 ms.
Vs = 20 VR = 10 kΩC = 47 µFvC(0) = 3 Vt = 200 ms
vC = V
7.Magnetfelder & InduktionMittel
Eine quadratische Schleife bewegt sich nach rechts in einen Bereich mit einem homogenen Magnetfeld, das in die Blattebene hinein zeigt. Klicke die Richtung des induzierten Stroms in der Schleife an, wie in der Zeichnung zu sehen, während die Schleife in das Feld eintritt.
B: in die Blattebene hineinbeim Eintritt in das Feld
- 1im Uhrzeigersinn
- 2gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Eine Spule mit 250 Windungen, 10 cm × 10 cm, rotiert in einem homogenen Feld von 0,5 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Mit welcher Drehzahl n (in Umdrehungen pro Minute) muss sie sich drehen, um eine Effektivspannung von 333,2 V zu liefern?
N = 250A = 10 cm × 10 cmB = 0,5 TErms = 333,2 V
n = rpm
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 60 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.
V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 47 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
Ein RLC-Reihenschwingkreis wird von einer Quelle mit 1 V (Effektivwert) gespeist, deren Frequenz auf die Resonanzfrequenz der Schaltung eingestellt ist. Bestimme die Effektivspannung VL an der Spule.
V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF
VL = V
3Lösungen
1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: E = 1,259 × 10⁷ N/C
Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.
Feld jeder Ladung
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,1² = 5,394 × 10⁶ N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0,1² = 7,192 × 10⁶ N/C
Richtungen und Summe
Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.
E = |5,394 × 10⁶ + 7,192 × 10⁶| = 1,259 × 10⁷ N/C
Antwort
E = 1,259 × 10⁷ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: E = 3,532 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Abstand und Feld einer Ladung
r = √(6² + 6²) = 8,485 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,08485² = 2,497 × 10⁶ N/C
Komponenten
Die Komponenten entlang der Verbindungslinie heben sich auf.
E = 2·E1·(h/r) = 2·2,497 × 10⁶·0,7071 = 3,532 × 10⁶ N/C
Antwort
E = 3,532 × 10⁶ N/C
Das Feld zeigt entlang der Mittelsenkrechten von den Ladungen weg.
3.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 0,6154 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 2 + 8 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω
Req = R1 + 3,75 = 6 + 3,75 = 9,75 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 6/9,75 = 0,6154 A
Antwort
IR1 = 0,6154 A
4.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR2 = 1,271 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 10 + 20 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 1,875 Ω
R3 + 1,875 = 31,88 Ω
R2 ∥ 31,88 = 4,322 Ω
Req = R1 + 4,322 = 12 + 4,322 = 16,32 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 24/16,32 = 1,47 A
Strom durch R₂
Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,47·12 = 6,355 V
IR2 = VA/R2 = 6,355/5 = 1,271 A
Antwort
IR2 = 1,271 A
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: τ = 6,875 ms
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators
Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.
Rth = R1 ∥ R2 = 1·2,2/(1 + 2,2) = 0,6875 kΩ
vC(∞) = 24·2,2/(1 + 2,2) = 16,5 V
Zeitkonstante
τ = Rth·C = 0,6875·10 = 6,875 ms
Antwort
τ = 6,875 ms
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: vC = 8,892 V
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante
Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.
vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms
vC(t) = 20 + (3 − 20)·e−t/τ
Spannung zum gegebenen Zeitpunkt
vC(200) = 20 + (−17)·e−200/470 = 8,892 V
Antwort
vC = 8,892 V
7.Magnetfelder & Induktion
Antwort: gegen den Uhrzeigersinn
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Flussänderung
Der Fluss in die Blattebene hinein nimmt zu, oder der Fluss aus der Blattebene heraus nimmt ab.
Feld des induzierten Stroms
Der induzierte Strom wirkt der Änderung entgegen.
Induziertes Feld im Inneren der Schleife: aus der Blattebene heraus.
Richtung des Stroms
Rechte-Hand-Regel: Ein Strom gegen den Uhrzeigersinn erzeugt im Inneren der Schleife ein Feld aus der Blattebene heraus.
gegen den Uhrzeigersinn
Antwort
gegen den Uhrzeigersinn
8.Magnetfelder & Induktion
Antwort: n = 3600 rpm
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Scheitelspannung
E₀ = √2·Erms = 471,2 V
Winkelgeschwindigkeit
ω = E₀/(NBA) = 471,2/(250·0,5·0,01) = 377 rad/s
Umdrehungen pro Minute
n = 60·377/(2π) = 3600 rpm
Antwort
n = 3600 rpm
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: I = 1,46 A
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstände
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω
Impedanz
In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−18,74)²) = 82,17 Ω
Strom
Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.
I = V/|Z| = 120/82,17 = 1,46 A
Antwort
I = 1,46 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: VL = 10,31 V
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Resonanz
Bei Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf, die Impedanz ist also nur R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,47·10⁻⁶) = 20628 rad/s
I = V/R = 1/10 = 0,1 A
Spannung an der Spule
XL = ω₀L = 20628·0,005 = 103,1 Ω
VL = I·XL = 0,1·103,1 = 10,31 V
Antwort
VL = 10,31 V
Das ist das Q = 10,31-Fache der Versorgungsspannung.
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