Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Coulombsches Gesetz
F = k·|q1q2|/r²
Feld einer Punktladung
E = k·|q|/r²
Konstante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Kraft auf eine Ladung
F = q·E

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe
Req = R1 + R2 + …
Widerstände parallel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Zwei parallel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ohmsches Gesetz
V = I·R
Leistung
P = V·I = I²R = V²/R

Methode

  1. Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
  2. Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
  4. Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante
τ = RC | τ = L/R
Antwort
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom
Leerlauf; vC kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom
Kurzschluss; iL kann nicht springen
Eingeschwungen
t ≈ 5τ

Methode

  1. Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
  2. Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
  3. Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
  4. Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Magnetfelder & Induktion

Langer gerader Draht
B = μ0I/(2πr)
Mittelpunkt einer flachen Spule
B = μ0NI/(2R)
Lange Spule
B = μ0nI, n = N/L
Konstante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Kraft auf einen Draht
F = BIL·sin θ
Kraft auf eine Ladung
F = |q|vB·sin θ
Kreisbewegung
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Parallele Drähte
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluss
Φ = BA·cos θ
Faradaysches Induktionsgesetz
ε = −N·ΔΦ/Δt
Bewegter Stab
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induktivität
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Gegeninduktivität
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Methode

  1. Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
  2. Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
  3. Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
  4. Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Kreisfrequenz
ω = 2πf
Betrag und Winkel
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern
V = I·Z

Methode

  1. Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
  2. Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
  3. Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
  4. Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

2Übungsaufgaben

1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
++5 µC++6 µCP40 cm

Eine Ladung von +5 µC und eine Ladung von +6 µC sind 40 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 30 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.

q1 = +5 µCq2 = +6 µCr1 = 30 cmr2 = 10 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
5 cm5 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +1 µC

Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 4 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 8 µC ist 5 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 1 µC 5 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.

q1 = 8 µCq2 = 1 µCq3 = 4 µCr13 = 5 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.

V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
R1​ = 6 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​3 ΩBR6​2 Ω

Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩR4 = 3 ΩR5 = 25 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 3,3 kΩC220 µF+−vC​

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 500 ms.

Vs = 6 VR1 = 1 kΩR2 = 3,3 kΩC = 220 µFt = 500 ms
vC = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
+−Vs​24 VR1​ = 33 ΩR2​ = 47 Ωöffnet bei t = 0L33 mHi(t)

Der Schalter parallel zu R2 ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 1 ms.

Vs = 24 VR1 = 33 ΩR2 = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
7.Magnetfelder & InduktionMittel
nBA = 20 cm², N = 500B = 0,2 T

Eine Spule mit 500 Windungen hat die Fläche 20 cm². Die Spule wird in einem homogenen Feld von 0,2 T, das senkrecht zu ihrer Ebene steht, in 50 ms umgedreht (um 180° gedreht). Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.

N = 500A = 20 cm²B = 0,2 TΔt = 50 ms
ε = V
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Bn = ?12 cm × 25 cmN = 150B = 0,05 T

Eine Spule mit 150 Windungen, 12 cm × 25 cm, rotiert in einem homogenen Feld von 0,05 T um eine Achse senkrecht zum Feld. Mit welcher Drehzahl n (in Umdrehungen pro Minute) muss sie sich drehen, um eine Effektivspannung von 9,996 V zu liefern?

N = 150A = 12 cm × 25 cmB = 0,05 TErms = 9,996 V
n = rpm
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
120 V500 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 1 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 1 µF
φ = °
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
230 V200 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 1 µF

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 1 µF
f0 = Hz

3Lösungen

1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: E = 4,895 × 10⁶ N/C

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Feld jeder Ladung

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,3² = 499444 N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,1² = 5,394 × 10⁶ N/C

Richtungen und Summe

Beide Ladungen sind positiv: In P zeigen ihre Felder jeweils von ihrer Ladung weg, also in entgegengesetzte Richtungen.

E = |499444 − 5,394 × 10⁶| = 4,895 × 10⁶ N/C

Antwort

E = 4,895 × 10⁶ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder

Antwort: F = 116 N

Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.

Einzelkräfte auf q₃

F1 = k·8·4 × 10⁻¹²/0,05² = 115,1 N
F2 = k·1·4 × 10⁻¹²/0,05² = 14,38 N

Vektorsumme

F = √(115,1² + 14,38²) = 116 N

Antwort

F = 116 N
3.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: IR1 = 0,2849 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R3 + R4 = 20 + 5 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 8·25/(8+25) = 6,061 Ω
Req = R1 + 6,061 = 15 + 6,061 = 21,06 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

IR1 = V1/Req = 6/21,06 = 0,2849 A

Antwort

IR1 = 0,2849 A
4.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: Req = 17,61 Ω

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

R1​ = 6 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​3 ΩBR6​2 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R5 + R6 = 25 + 2 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 2,7 Ω
R3 + 2,7 = 27,7 Ω
R2 ∥ 27,7 = 11,61 Ω
Req = R1 + 11,61 = 6 + 11,61 = 17,61 Ω

Antwort

Req = 17,61 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: vC = 4,366 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·3,3/(1 + 3,3) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 6·3,3/(1 + 3,3) = 4,605 V

Zeitkonstante

τ = Rth·C = 0,7674·220 = 168,8 ms

Ladekurve

vC(t) = 4,605·(1 − e−500/168,8) = 4,366 V

Antwort

vC = 4,366 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,3378 A

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 24/33 = 0,7273 A
i(∞) = 24/(33 + 47) = 0,3 A
τ = L/R = 33/80 = 0,4125 ms
i(t) = 0,3 + (0,7273 − 0,3)·e−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(1) = 0,3 + (0,4273)·e−1/0,4125 = 0,3378 A

Antwort

i = 0,3378 A
7.Magnetfelder & Induktion

Antwort: ε = 8 V

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Flussänderung pro Windung

ΔΦ = 2·0,2·0,002 = 0,0008 Wb

Mittlere Spannung

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,0008/0,05 = 8 V

Antwort

ε = 8 V
8.Magnetfelder & Induktion

Antwort: n = 600 rpm

Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).

Scheitelspannung

E₀ = √2·Erms = 14,14 V

Winkelgeschwindigkeit

ω = E₀/(NBA) = 14,14/(150·0,05·0,03) = 62,83 rad/s

Umdrehungen pro Minute

n = 60·62,83/(2π) = 600 rpm

Antwort

n = 600 rpm
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = −58,19 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−161,2)²) = 189,7 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−161,2/100) = −58,19°

Antwort

φ = −58,19°
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: f0 = 503,3 Hz

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Resonanz

Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·1·10⁻⁶)) = 503,3 Hz

Antwort

f0 = 503,3 Hz

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