Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
- Coulombsches Gesetz
- F = k·|q1q2|/r²
- Feld einer Punktladung
- E = k·|q|/r²
- Konstante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Kraft auf eine Ladung
- F = q·E
Physik 2: Elektrizität und Magnetismus: Lernpaket
Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
1Formeln und Methoden
Reihen- und Parallelschaltung
- Widerstände in Reihe
- Req = R1 + R2 + …
- Widerstände parallel
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Zwei parallel
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ohmsches Gesetz
- V = I·R
- Leistung
- P = V·I = I²R = V²/R
Methode
- Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
- Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
- Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.
RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
- Zeitkonstante
- τ = RC | τ = L/R
- Antwort
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Kondensator bei Gleichstrom
- Leerlauf; vC kann nicht springen
- Spule bei Gleichstrom
- Kurzschluss; iL kann nicht springen
- Eingeschwungen
- t ≈ 5τ
Methode
- Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
- Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
- Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
- Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Magnetfelder & Induktion
- Langer gerader Draht
- B = μ0I/(2πr)
- Mittelpunkt einer flachen Spule
- B = μ0NI/(2R)
- Lange Spule
- B = μ0nI, n = N/L
- Konstante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Kraft auf einen Draht
- F = BIL·sin θ
- Kraft auf eine Ladung
- F = |q|vB·sin θ
- Kreisbewegung
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Parallele Drähte
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluss
- Φ = BA·cos θ
- Faradaysches Induktionsgesetz
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Bewegter Stab
- ε = BLv
- Generator
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Induktivität
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Gegeninduktivität
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Geschwindigkeitsfilter und Spektrometer
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Methode
- Rechne jede Größe in SI-Einheiten um: cm in m, cm² in m², mT und µT in T.
- Wähle die richtige Formel: B = μ₀I/(2πr) für einen Draht, μ₀NI/(2R) für den Mittelpunkt einer Spule, μ₀nI im Inneren einer Spule; F = BIL·sin θ oder |q|vB·sin θ für Kräfte.
- Bestimme bei Induktion die Flussänderung ΔΦ = Δ(BA·cos θ) und verwende ε = N·ΔΦ/Δt, oder ε = BLv für einen bewegten Stab und NBAω für eine rotierende Spule.
- Bestimme Richtungen getrennt mit den Rechte-Hand-Regeln und der Lenzschen Regel für induzierte Ströme.
Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
- Impedanzen
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Kreisfrequenz
- ω = 2πf
- Betrag und Winkel
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ohmsches Gesetz mit Zeigern
- V = I·Z
Methode
- Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
- Bestimme jeden Blindwiderstand: XL = ωL und XC = 1/(ωC).
- Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
- Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.
2Übungsaufgaben
1.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderMittel
Eine Ladung von +4 µC und eine Ladung von −10 µC sind 30 cm voneinander entfernt. Der Punkt P liegt auf der Verbindungslinie zwischen ihnen, 18 cm von der ersten Ladung entfernt. Bestimme den Betrag der elektrischen Feldstärke E in P.
q1 = +4 µCq2 = −10 µCr1 = 18 cmr2 = 12 cm
E = N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische FelderSchwer
Drei positive Punktladungen sitzen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks: q₃ = 3 µC sitzt an der Ecke mit dem rechten Winkel, q₁ = 8 µC ist 5 cm davon entfernt entlang der einen Kathete und q₂ = 6 µC 4 cm entlang der anderen. Bestimme den Betrag der resultierenden elektrischen Kraft F auf q₃.
q1 = 8 µCq2 = 6 µCq3 = 3 µCr13 = 5 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Reihen- und ParallelschaltungMittel
Bestimme den Strom IR1, den die Quelle abgibt und der durch R1 fließt.
V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
4.Reihen- und ParallelschaltungSchwer
Bestimme den Ersatzwiderstand Req, den die Quelle V1 sieht.
V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 ΩR4 = 4 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 20 ms.
Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 2,2 kΩC = 10 µFt = 20 ms
vC = V
6.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 8 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis vC den Wert 17,6 V erreicht? Bestimme t.
Vs = 20 VR = 2,2 kΩC = 10 µFvC(0) = 8 V
t = ms
7.Magnetfelder & InduktionMittel
Eine Spule mit 10 Windungen hat die Fläche 20 cm². Die Spule wird in einem homogenen Feld von 0,3 T, das senkrecht zu ihrer Ebene steht, in 20 ms umgedreht (um 180° gedreht). Bestimme die mittlere induzierte Spannung ε.
N = 10A = 20 cm²B = 0,3 TΔt = 20 ms
ε = mV
8.Magnetfelder & InduktionSchwer
Eine lange Luftspule hat 400 Windungen, eine Länge von 30 cm und einen Durchmesser von 5 cm. Bestimme die in ihrem Magnetfeld gespeicherte Energie W, wenn sie 2,5 A führt.
N = 400l = 30 cm⌀ = 5 cmI = 2,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 10 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 1 µF
f0 = Hz
3Lösungen
1.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: E = 7,353 × 10⁶ N/C
Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.
Feld jeder Ladung
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,18² = 1,11 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,12² = 6,243 × 10⁶ N/C
Richtungen und Summe
Das erste Feld zeigt von der positiven Ladung weg und das zweite zur negativen Ladung hin: Beide zeigen in dieselbe Richtung.
E = |1,11 × 10⁶ + 6,243 × 10⁶| = 7,353 × 10⁶ N/C
Antwort
E = 7,353 × 10⁶ N/C
2.Coulombsches Gesetz & elektrische Felder
Antwort: F = 133 N
Coulombsches Gesetz: Zwei Punktladungen ziehen sich an oder stoßen sich ab mit F = k·|q₁·q₂|/r², mit k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Das Feld einer Punktladung ist E = k·|q|/r² und zeigt von einer positiven Ladung weg und zu einer negativen hin. Kräfte und Felder mehrerer Ladungen addieren sich vektoriell.
Einzelkräfte auf q₃
F1 = k·8·3 × 10⁻¹²/0,05² = 86,3 N
F2 = k·6·3 × 10⁻¹²/0,04² = 101,1 N
Vektorsumme
F = √(86,3² + 101,1²) = 133 N
Antwort
F = 133 N
3.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 1,333 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 6 + 6 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 12·12/(12+12) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 3 + 6 = 9 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 12/9 = 1,333 A
Antwort
IR1 = 1,333 A
4.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: Req = 8,972 Ω
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 3,59 Ω
R3 + 3,59 = 6,59 Ω
R2 ∥ 6,59 = 3,972 Ω
Req = R1 + 3,972 = 5 + 3,972 = 8,972 Ω
Antwort
Req = 8,972 Ω
5.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: vC = 1,45 V
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators
Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.
Rth = R1 ∥ R2 = 10·2,2/(10 + 2,2) = 1,803 kΩ
vC(∞) = 12·2,2/(10 + 2,2) = 2,164 V
Zeitkonstante
τ = Rth·C = 1,803·10 = 18,03 ms
Ladekurve
vC(t) = 2,164·(1 − e−20/18,03) = 1,45 V
Antwort
vC = 1,45 V
6.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: t = 35,41 ms
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante
Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 10 µF = 22 ms
vC(t) = 20 + (8 − 20)·e−t/τ
Nach der Zeit auflösen
17,6 = 20 + (−12)·e−t/τ → e−t/τ = (17,6 − 20)/(8 − 20) = 0,2
t = τ·ln((8 − 20)/(17,6 − 20)) = 22·ln(5) = 35,41 ms
Antwort
t = 35,41 ms
7.Magnetfelder & Induktion
Antwort: ε = 600 mV
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Flussänderung pro Windung
ΔΦ = 2·0,3·0,002 = 0,0012 Wb
Mittlere Spannung
ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0012/0,02 = 0,6 V
Antwort
ε = 600 mV
8.Magnetfelder & Induktion
Antwort: W = 4,112 mJ
Elektromagnetische Induktion: Der Fluss durch eine Schleife ist Φ = BA·cos θ, mit θ zwischen B und der Normalen der Schleife. Faradaysches Gesetz: Eine Flussänderung induziert in einer Spule mit N Windungen die Spannung emf = −N·dΦ/dt, und nach der Lenzschen Regel fließt der induzierte Strom so, dass sein eigenes Feld der Änderung entgegenwirkt. Ein Stab, der sich quer durch ein Feld bewegt, liefert emf = BLv. Eine mit ω rotierende Spule liefert e = NBAω·sin ωt, Scheitelwert NBAω. Selbstinduktivität: emf = −L·di/dt, mit L = μ₀N²A/l für eine lange Spule, und die gespeicherte Energie ist W = ½LI². Zwei gekoppelte Spulen: emf₂ = −M·di₁/dt mit M = k√(L₁L₂).
Selbstinduktivität
L = μ₀N²A/l = 1,316 mH
Gespeicherte Energie
W = ½LI² = ½·0,001316·2,5² = 0,004112 J = 4,112 mJ
Antwort
W = 4,112 mJ
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: φ = −83,01 °
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstände
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω
Impedanz
In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−326,1)²) = 328,5 Ω
Phasenwinkel
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−326,1/40) = −83,01°
Antwort
φ = −83,01°
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: f0 = 410,9 Hz
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Resonanz
Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·1·10⁻⁶)) = 410,9 Hz
Antwort
f0 = 410,9 Hz
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