Einführung in die Statistik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 12 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Beschreibende Statistik

Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ

Wahrscheinlichkeit

Gegenereignis
P(not A) = 1 − P(A)
Additionssatz
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Unabhängige Ereignisse
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomialverteilung
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalverteilung

z-Wert
z = (x − μ)/σ
Unterhalb von x
P(X < x) = Φ(z)
Oberhalb von x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Dazwischen
Φ(z2) − Φ(z1)
Perzentil
x = μ + z·σ

Methode

  1. Rechne den Wert in einen z-Wert um: z = (x − μ)/σ.
  2. Lies Φ(z) ab, die Fläche links von z.
  3. Für die Fläche rechts verwende 1 − Φ(z); für ein Intervall subtrahiere die beiden linken Flächen.
  4. Für ein Perzentil rechnest du rückwärts: Bestimme z zur Fläche, dann x = μ + z·σ.

Konfidenzintervalle

σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
  2. Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
  3. Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
  4. Intervall: x̄ ± E.

Hypothesentests & Konfidenzintervalle

z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
  2. Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
  3. Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
  4. Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.

Lineare Regression und Korrelation

Quadratsummen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung
b = Sxy/Sxx
Achsenabschnitt
a = ȳ − b·x̄
Korrelation
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residuum
e = y − ŷ

2Übungsaufgaben

1.Beschreibende StatistikMittel
152025303540

Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 43, 23, 14, 31, 23.

n = 5
s =
2.Beschreibende StatistikSchwer
z −2−1012

Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 8. Welcher Anteil P der Werte liegt über 58?

μ = 70σ = 8x = 58
P =
3.WahrscheinlichkeitMittel
rot: 8blau: 6

Ein Beutel enthält 8 rote und 6 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass beide rot sind?

8 / 6
P =
4.WahrscheinlichkeitSchwer
n = 12, p = 0,6: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Ein Test hat 12 Multiple-Choice-Fragen. Eine Studentin, die rät, beantwortet jede unabhängig mit Wahrscheinlichkeit 0,6 richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für genau 5 richtige Antworten?

n = 12p = 0,6k = 5
P =
5.NormalverteilungMittel
2343,1P = ?

Die Lieferzeiten sind normalverteilt mit dem Mittelwert 32 min und der Standardabweichung 6 min. Welcher Anteil liegt zwischen 23 und 43,1 min? Gib P als Dezimalzahl an.

μ = 32σ = 6x1 = 23x2 = 43,1
P =
6.NormalverteilungSchwer
μ = 250x = ?25%

Die Gewichte von Beuteln sind normalverteilt mit dem Mittelwert 250 g und der Standardabweichung 5 g. Bestimme den Wert x, unter dem 25 % von ihnen liegen (das 25. Perzentil).

μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
7.KonfidenzintervalleMittel
n = 6, s = 7L = ?Ux̄ = 20E99%

Eine Stichprobe von 6 Elementen hat den Mittelwert 20 und die Standardabweichung s = 7. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die untere Grenze des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 6x̄ = 20s = 799%t(5) = 4,032
untere Grenze =
8.KonfidenzintervalleSchwer
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,02595%

Über den Anteil fehlerhafter Produkte ist vorab nichts bekannt. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,025 hat?

p = 0,5E = 0,02595%
n =
9.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
−1,081,08p = ?

Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 120 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 24. Eine Zufallsstichprobe von 36 Beobachtungen hat den Mittelwert 115,68. Teste H₀: μ = 120 gegen H₁: μ ≠ 120. Bestimme den p-Wert p.

μ₀ = 120σ = 24n = 36x̄ = 115,68H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
−1,961,96z = ?

In einer Studie erholen sich 113 von 250 Patienten unter Behandlung A und 60 von 100 Patienten unter Behandlung B. Bestimme mit dem gepoolten Anteil die Teststatistik z für H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 60n₂ = 100
z =
11.Lineare Regression und KorrelationMittel
xy123224321414514xy24152025

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Bestimme den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 5
r =
12.Lineare Regression und KorrelationSchwer
xy17291934215023542556xy2025304050ŷ = 56

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Für welchen Wert x sagt die Gerade ŷ = 56 voraus?

n = 5ŷ = 56
x =

3Lösungen

1.Beschreibende Statistik

Antwort: s = 10,87

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Mittelwert

x̄ = 134/5 = 26,8

Quadrierte Abweichungen

Σ(x − x̄)² = 16,2² + (−3,8)² + (−12,8)² + 4,2² + (−3,8)² = 472,8

Standardabweichung

s = √(472,8/4) = 10,87

Antwort

s = 10,87
2.Beschreibende Statistik

Antwort: P = 0,9332

Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.

Standardisieren

z = −1,5

Standardnormalverteilungstabelle

Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Antwort

P = 0,9332
3.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,3077

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Erster und zweiter Zug

P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077

Antwort

P = 0,3077
4.Wahrscheinlichkeit

Antwort: P = 0,1009

Wahrscheinlichkeit: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt P(A) = günstige/mögliche. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert: P(A und B) = P(A)·P(B). Das Gegenereignis hilft oft: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Binomial: Bei n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomialformel

P(X = 5) = 792·0,65·0,47 = 792·0,07776·0,001638 = 0,1009

Antwort

P = 0,1009
5.Normalverteilung

Antwort: P = 0,901

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z-Werte

z₁ = (23 − 32)/6 = −1,5
z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85

Fläche dazwischen

P = Φ(1,85) − Φ(−1,5) = 0,9678 − 0,06681 = 0,901

Antwort

P = 0,901
6.Normalverteilung

Antwort: x = 246,6 g

Normalverteilung: Rechne einen Wert x in einen z-Wert um, z = (x − μ)/σ; er gibt an, wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt liegt. Eine z-Tabelle (oder Φ(z)) liefert die Fläche links von z, also P(X < x). Die Fläche rechts ist 1 − Φ(z), und die Fläche zwischen zwei Werten ist die Differenz ihrer beiden Flächen.

z für das Perzentil

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Zurück zu x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Antwort

x = 246,63 g
7.Konfidenzintervalle

Antwort: untere Grenze = 8,478

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Kritischer Wert

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Fehlermarge

E = 4,032·7/√6 = 11,52

Intervall

20 ± 11,52 → [8,478, 31,52]

Antwort

untere Grenze = 8,478
8.Konfidenzintervalle

Antwort: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Nach n auflösen

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

Aufrunden

n = 1537

Antwort

n = 1537
9.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: p = 0,2801

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Teststatistik

SE = σ/√n = 24/√36 = 4
z = (115,68 − 120)/4 = −1,08

Endfläche

Φ(1,08) = 0,8599
1 − Φ(1,08) = 0,1401

p-Wert

p = 2·0,1401 = 0,2801

Antwort

p = 0,2801

p > 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau nicht verworfen.

10.Hypothesentests & Konfidenzintervalle

Antwort: z = −2,502

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Stichprobenanteile

p̂₁ = 113/250 = 0,452
p̂₂ = 60/100 = 0,6
p̂ = 173/350 = 0,4943

Standardfehler unter H₀

SE = √(0,4943·0,5057·(1/250 + 1/100)) = 0,05916

Teststatistik

z = (0,452 − 0,6)/0,05916 = −2,502

Antwort

z = −2,502

|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.

11.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: r = −0,9094

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 96/5 = 19,2

Quadrat- und Produktsummen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94,8

Korrelationskoeffizient

r = −28/√(10·94,8) = −0,9094

Antwort

r = −0,9094
12.Lineare Regression und Korrelation

Antwort: x = 24,08

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 223/5 = 44,6

Quadrat- und Produktsummen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

Regressionsgerade

b = 148/40 = 3,7
a = 44,6 − 3,7·21 = −33,1
ŷ = −33,1 + 3,7·x

Nach x auflösen

x = (56 − (−33,1))/3,7 = 24,08

Antwort

x = 24,08

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